6. L ‘INTER.POLATION
La relation (6.18) peut donc s’écrire :
(Gr - %)YL/ = (2, - G)Yr, - (xc - G)YY, = (Gr - %)Y,.
Pour le cas où 2, = 2,, nous pouvons écrire :
(xx - %)Y, = -(xc ~ %)Y,.
et dans le cas où 2, = CC,, nous obtenons encore l’identité des deux membres de (6.18) :
(2, - %)YY, = 4% ~ %)Y,.
On en conclut que l’égalité (6.18) es une relation qui permet de calculer le polynôme Pp,...;q
t
de degré (4 ~ p ~ 1) à partir des deux polynômes de degré (4 - p ~ 1) qui sont Pp,.,, J~),.,,~ et
P P,... ,(C)>...4.
16.2. Calcul numérique de yp
En faisant usage de la relation (6.18), nous allons calculer le polynôme P”,l,...n pour la valeur
x~, cn formant une suite convenable de polynômes intermédiaires Pp,...,CI et Pr,,,..,(,),,,.,. A ce
propos nous étudierons deux méthodes, l’une due à Aitken l’autre due à Neville laquelle n’est
qu’une modification de la méthode d’ilitken.
a - Méthode d’Aitken - Pour résoudre le problème des polynômes intermédiaires, Aitken a
proposé la disposition suivante :
x0 - X/l
Y0
x0 - Xl 21 ~ 211, y1 Pol
*Xl - 22
x0 - x2
52
~
xfi
Y2
po2
Pol2
52 - x3
Xl - X:?l
x0 - x3
23
~
X/l
Y3
po3
Pol3
Pol23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X,-l - X”
. .
Xl - xv
x0 - xv
xv - X/L
YV pOn POln P012n P0L.n
À partir de la disposition des yk et des (x, - x0) on va calculer les polynômes Pol, Po2, . , PolL
à l’aide de la relation :
poj = ( xo 1 xj) [(X0 - xp)yj ~ (xj - xp)yO] avec j = 1,2,3,. . . n
Ensuite on calculera la colonne suivante dans le tableau, c’est-à-dire P012, POIS,. . . , PolrL au
moyen de l’expression :
polj = (xo 1 xj)
[(xl - xp)Poj - (xj - x,)Pol]
avec j = 1,2,3,. . n.
On procédera ainsi de suite jusqu’a l’obtention de l’élément Po~...,~ qui constitue, en définitive,
la valeur recherchée Y~.
Remarque 1 : Pour obtenir une précision optimum, on peut se poser la question de savoir
quelle doit être la distribution initiale des points car nous sommes libre de numéroter les points
comme bon nous semble.
Dans le cas d’une extrapolation, on adoptera l’ordre des points allant du plus près de x, au
plus éloigné.
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La relation (6.18) peut donc s’écrire :
(Gr - %)YL/ = (2, - G)Yr, - (xc - G)YY, = (Gr - %)Y,.
Pour le cas où 2, = 2,, nous pouvons écrire :
(xx - %)Y, = -(xc ~ %)Y,.
et dans le cas où 2, = CC,, nous obtenons encore l’identité des deux membres de (6.18) :
(2, - %)YY, = 4% ~ %)Y,.
On en conclut que l’égalité (6.18) es une relation qui permet de calculer le polynôme Pp,...;q
t
de degré (4 ~ p ~ 1) à partir des deux polynômes de degré (4 - p ~ 1) qui sont Pp,.,, J~),.,,~ et
P P,... ,(C)>...4.
16.2. Calcul numérique de yp
En faisant usage de la relation (6.18), nous allons calculer le polynôme P”,l,...n pour la valeur
x~, cn formant une suite convenable de polynômes intermédiaires Pp,...,CI et Pr,,,..,(,),,,.,. A ce
propos nous étudierons deux méthodes, l’une due à Aitken l’autre due à Neville laquelle n’est
qu’une modification de la méthode d’ilitken.
a - Méthode d’Aitken - Pour résoudre le problème des polynômes intermédiaires, Aitken a
proposé la disposition suivante :
x0 - X/l
Y0
x0 - Xl 21 ~ 211, y1 Pol
*Xl - 22
x0 - x2
52
~
xfi
Y2
po2
Pol2
52 - x3
Xl - X:?l
x0 - x3
23
~
X/l
Y3
po3
Pol3
Pol23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X,-l - X”
. .
Xl - xv
x0 - xv
xv - X/L
YV pOn POln P012n P0L.n
À partir de la disposition des yk et des (x, - x0) on va calculer les polynômes Pol, Po2, . , PolL
à l’aide de la relation :
poj = ( xo 1 xj) [(X0 - xp)yj ~ (xj - xp)yO] avec j = 1,2,3,. . . n
Ensuite on calculera la colonne suivante dans le tableau, c’est-à-dire P012, POIS,. . . , PolrL au
moyen de l’expression :
polj = (xo 1 xj)
[(xl - xp)Poj - (xj - x,)Pol]
avec j = 1,2,3,. . n.
On procédera ainsi de suite jusqu’a l’obtention de l’élément Po~...,~ qui constitue, en définitive,
la valeur recherchée Y~.
Remarque 1 : Pour obtenir une précision optimum, on peut se poser la question de savoir
quelle doit être la distribution initiale des points car nous sommes libre de numéroter les points
comme bon nous semble.
Dans le cas d’une extrapolation, on adoptera l’ordre des points allant du plus près de x, au
plus éloigné.
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