MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
a. Chaque polynôme Q”(z) réalisant l’interpolation entre les points ak et ak+r passe par ces
deux points.
b. Les dérivées premières, deuxièmes et ainsi de suite jusqu’à l’ordre (4 - 1) des polynômes
Q;-%) et Q”C x se raccordent au point uk, c’est-à-dire qu’elles sont égales chacune à
)
chacune.
c. Comme nous avons imposé [2n+ (n - l)] (4 ~ 1) conditions, il manque encore (q- 1) conditions
pour fermer le système. Alors, on impose arbitrairement que les dérivées d’ordre le plus élevé
concernant les deux polynômes extrêmes Q:(z) et &y( I I : s’annulent respectivement au point
)
an et au point a,. Si Q est impair, les (q-2) dernières dérivées de Q;(X) et Q:(x) s’annuleront
respectivement au point ao et au point a,. Si Q est pair le problème devient dyssymétrique
et l’on choisira les (Q ~ 2)/2 dernières dérivées pour un polynôme et q/2 pour l’autre.
Ces généralités étant énoncées, nous allons fixer notre attention sur les fonctions-spline du
troisième degré qui constituent de loin celles qui sont le plus fréquemment employées.
13. Les fonctions-spline du troisième degré
Il n’y a dans ce cas que deux conditions à ajouter pour que le système des équations linéaires
soit fermé. Nous avons :
Qk(x) = (Yko + ‘%IX + ak2x2 + Qk3x3
Qk(uk-l)= bk-1
Q/c(~h) = bk
Qkbk) = Q;+dad
QXac, = Q~+,(~k>
plus les deux conditions arbitraires :
Qi’bo> = 0
Q;(an) = 0.
En toute rigueur, il nous faut résoudre un système linéaire de 4n équations à 4n inconnues.
Comme la matrice des coefficients est une matrice-bande, nous allons développer une méthode
spécifique pour obtenir les paramètres inconnus. Il s’agit en fait de réduire le plus possible le
nombre d’inconnues en exploitant convenablement les conditions que nous venons d’expliciter.
Pour cela posons :
hk = ak - ak-1
Mq = Qi(uq)
pour 4 = 1,2,. . (n ~ 1).
Nous allons exprimer les polynômes en fonction des Mq qui sont pour l’instant des inconnues.
Ces quantités vont être déterminées par un système linéaire que nous allons définir. Comme
nous avons :
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
a. Chaque polynôme Q”(z) réalisant l’interpolation entre les points ak et ak+r passe par ces
deux points.
b. Les dérivées premières, deuxièmes et ainsi de suite jusqu’à l’ordre (4 - 1) des polynômes
Q;-%) et Q”C x se raccordent au point uk, c’est-à-dire qu’elles sont égales chacune à
)
chacune.
c. Comme nous avons imposé [2n+ (n - l)] (4 ~ 1) conditions, il manque encore (q- 1) conditions
pour fermer le système. Alors, on impose arbitrairement que les dérivées d’ordre le plus élevé
concernant les deux polynômes extrêmes Q:(z) et &y( I I : s’annulent respectivement au point
)
an et au point a,. Si Q est impair, les (q-2) dernières dérivées de Q;(X) et Q:(x) s’annuleront
respectivement au point ao et au point a,. Si Q est pair le problème devient dyssymétrique
et l’on choisira les (Q ~ 2)/2 dernières dérivées pour un polynôme et q/2 pour l’autre.
Ces généralités étant énoncées, nous allons fixer notre attention sur les fonctions-spline du
troisième degré qui constituent de loin celles qui sont le plus fréquemment employées.
13. Les fonctions-spline du troisième degré
Il n’y a dans ce cas que deux conditions à ajouter pour que le système des équations linéaires
soit fermé. Nous avons :
Qk(x) = (Yko + ‘%IX + ak2x2 + Qk3x3
Qk(uk-l)= bk-1
Q/c(~h) = bk
Qkbk) = Q;+dad
QXac, = Q~+,(~k>
plus les deux conditions arbitraires :
Qi’bo> = 0
Q;(an) = 0.
En toute rigueur, il nous faut résoudre un système linéaire de 4n équations à 4n inconnues.
Comme la matrice des coefficients est une matrice-bande, nous allons développer une méthode
spécifique pour obtenir les paramètres inconnus. Il s’agit en fait de réduire le plus possible le
nombre d’inconnues en exploitant convenablement les conditions que nous venons d’expliciter.
Pour cela posons :
hk = ak - ak-1
Mq = Qi(uq)
pour 4 = 1,2,. . (n ~ 1).
Nous allons exprimer les polynômes en fonction des Mq qui sont pour l’instant des inconnues.
Ces quantités vont être déterminées par un système linéaire que nous allons définir. Comme
nous avons :
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