MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Par définition le polynôme de Stirling est la dem-somme des expressions donnees
par (6.9)
et (6.10), lequel s’écrit simplement :
PT{(Z) =bo+z
A’bo + Alb-i
z2
+ %A2b-l +
Z(Z”
2
~ 1) (A”bbi + A”bbz) + z”(z” - 1) A4bb
3!
2
4!
2
+
Z(Z” - 1)(22 ~ 4) (A’bb2 + A”bb:j)
5!
2
... (6.12)
Il convient de remarquer que l’on arrête l’expression du polynôme de Stirling au terme A’qbb,
et non au terme précédent :
(A2q-1b-,+l + A2”-lb&)
2
1
tout simplement parce que si l’on connaît A2”-‘bb,+r et A2qp1bbq,
on connaît A2”bb . On en
,
déduit que le polynôme de Stirling est toiqours un polynôme de degré pair et qu’il faut cinnaître
(2k + 1) points pour un polynôme de degre 2k.
Le polynôme de Stirling est utilisé pour effectuer les interpolations situées dans le deuxième
quart du tableau lorsque, évidernment, on utilise mie fraction seulernent du tableau.
Dans les mêmes conditions, il nous reste à s’intéresser au troisième quart du tableau, ce sera
chose faite après l’étude du polynôme de Bessel.
9. Le polynôme d’interpolation de Bessel (1784-1846)
Pour obtenir le polynôme de Bessel il suffit d’effectuer la demi-somme du polynôme (6.9) et du
polynôme (6.11). Au préalable on réalise dans la relation (6.9) le changement de variable z en
(2 ~ 1) qui correspond à un décalage des indices d’une unité, nous pouvons écrire :
Pr!,(z) = bl + (z ~ l)A1bo + ~
‘(’ - l) A2b
+‘l’~ ‘ii- 2)A”be1 + ‘dz2 ~ ‘)b - 2)~4b-l +, .
3!
4!
(6,13)
le polynôme d’interpolation prend alors la forme :
+ (2 - 1/2)Aibe + ~
dz - 1) (A260 + A2b-l) + z(z - l)(z - 1/2) A”bb
2!
2
3!
1
+
Z(Z" - l)(z - 2) (A4b-1 + A”bb2) +. .
4!
2
Ajoutons que nous devons arrêter le polynôme de Bessel à l’ordre (2k + l), c’est en effet un
polynôme impair qui dernande (2k + 2) points pour sa définition.
10. Erreurs commises en utilisant les polynômes d’interpolation
Il suffit de réaménager la formule établie lors de l’étude du polynôme de Lagrange pour chacun
des cas envisagés ici, c’est-à-dire l’expression de E(z). Nous obtenons alors les expressions
suivantes :
100
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Par définition le polynôme de Stirling est la dem-somme des expressions donnees
par (6.9)
et (6.10), lequel s’écrit simplement :
PT{(Z) =bo+z
A’bo + Alb-i
z2
+ %A2b-l +
Z(Z”
2
~ 1) (A”bbi + A”bbz) + z”(z” - 1) A4bb
3!
2
4!
2
+
Z(Z” - 1)(22 ~ 4) (A’bb2 + A”bb:j)
5!
2
... (6.12)
Il convient de remarquer que l’on arrête l’expression du polynôme de Stirling au terme A’qbb,
et non au terme précédent :
(A2q-1b-,+l + A2”-lb&)
2
1
tout simplement parce que si l’on connaît A2”-‘bb,+r et A2qp1bbq,
on connaît A2”bb . On en
,
déduit que le polynôme de Stirling est toiqours un polynôme de degré pair et qu’il faut cinnaître
(2k + 1) points pour un polynôme de degre 2k.
Le polynôme de Stirling est utilisé pour effectuer les interpolations situées dans le deuxième
quart du tableau lorsque, évidernment, on utilise mie fraction seulernent du tableau.
Dans les mêmes conditions, il nous reste à s’intéresser au troisième quart du tableau, ce sera
chose faite après l’étude du polynôme de Bessel.
9. Le polynôme d’interpolation de Bessel (1784-1846)
Pour obtenir le polynôme de Bessel il suffit d’effectuer la demi-somme du polynôme (6.9) et du
polynôme (6.11). Au préalable on réalise dans la relation (6.9) le changement de variable z en
(2 ~ 1) qui correspond à un décalage des indices d’une unité, nous pouvons écrire :
Pr!,(z) = bl + (z ~ l)A1bo + ~
‘(’ - l) A2b
+‘l’~ ‘ii- 2)A”be1 + ‘dz2 ~ ‘)b - 2)~4b-l +, .
3!
4!
(6,13)
le polynôme d’interpolation prend alors la forme :
+ (2 - 1/2)Aibe + ~
dz - 1) (A260 + A2b-l) + z(z - l)(z - 1/2) A”bb
2!
2
3!
1
+
Z(Z" - l)(z - 2) (A4b-1 + A”bb2) +. .
4!
2
Ajoutons que nous devons arrêter le polynôme de Bessel à l’ordre (2k + l), c’est en effet un
polynôme impair qui dernande (2k + 2) points pour sa définition.
10. Erreurs commises en utilisant les polynômes d’interpolation
Il suffit de réaménager la formule établie lors de l’étude du polynôme de Lagrange pour chacun
des cas envisagés ici, c’est-à-dire l’expression de E(z). Nous obtenons alors les expressions
suivantes :
100