6. L’INTERPOLATION
Tout comme précédemment, on tire les valeurs des coefficients Sk exprimés en fonction des
opérateurs de différence :
S” = bu
Alb-1
SI = 7
s = A2b-2
22!h2
. . . . . . . . . . . .
S
A2q+lb-,pi
2q+1 = (‘& + l)!h%+l
En ut,ilisant le même changement de variable que celui déjà utilisé à propos des polynômes
de Newton, nous obtenons une forme plus concise :
z(z + 1)
I=~L(Z) = bo + zA1b-1 + 7 A2b-i +
Z(Z” ~ 1)
3!
A3be2
+
2(z2 - l)(z + 2, abbb2 + dz2 - l)b2 - 4, a”bps + . .
(6.9)
4!
5!
À présent, écrivons le même polynôme (6.8) cn fonction d’abscisses données pour une saison
négative :
P,,(X) = R. + Ri(z - QI) + R2(11: - ao)(x - ao ~ h)
+
R:<(x - ao +
h)(z ~ uo)(x - ao - h)
+ . . . + R2q[x - a,, + (q - l)h] . (z ~ ao - qh)
-t Rzq+l(x ~ ao + qh) (x - ao - qh)
(6.10)
Sans entrer dans le détail puisque les opérations ont éte explicitees à plusieurs reprises, on
obtient les coefficients Rk: au moyen des expressions :
R. = bo
A1bo
RI = h
R = A2b-i
22!hZ
. . . . . . . . . . . .
A2qb-,
R2q = o!h2y
A2q+lbR 2q+l = (Zq + q!h”u+l
En procédant au changement de variable en z on peut écrire :
P,l(z) = bo + zA1bo +
z(z” ~ 1) 3
+f$A2bk1
+ y,
A bkl
+
z(z” - ‘)(’ ~ 2)‘&p2 + ‘b2 ~ ‘)b2 - 4, a”bp2 + . . (6.11)
4!
5!
0521439687
99