6. L ‘INTERPOLATION
À présent, nous allons exprimer de proche en proche les coefficients NI, au moyen des
opérateurs de difference définis au paragraphe préccdent. On obtient donc :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A”b,,
N,, = ~
n! h”
Pour des raisons de concision d’écriture il est commode de poser :
Ainsi l’expression devient :
PrL(z) = b,, + zA1bo + ~~2b0 + . + 42 - 1) ‘. b ~ ( TL - 111 *nbo,
l
(6.5)
1%.
Cette formule s’appelle polynôme de Newton descendant. Elle est utilisk pour effectuer des
interpolations en tête dc tableau (ce qui signifie que l’on réalise l’interpolation avec le dcbut du
tableau et non pas avec tout le tableau).
Pour obtenir les interpolations en queue de tableau ~ disons avec le dcrnicr quart des
données
~~ il suffît d’écrire le polynôme de Newton en considérant 1111 pas négatif; c’est-à-dire
en changeant de signe la raison de la progression arithmétique. L’expression (6.4) devient :
P,L(x) = Mo + Ml(z ~ uo) + Mz(x - u,,)(z ~ ao + h)
+...+Mn(rx - uo) . . . [x - a0 + (n- l)h].
(6.6)
Comme précédemment, on donnera à z les valeurs ae ~ kh avec k = 0, 1,2, . n, rnais, pour
éviter toute confusion, on affcctcra un indice aux valeurs correspondantes des ordonnées avec
un signe ncgatif, soit b-k. On obtient alors :
P,, (ao)
= b. = Mo
P,(a,, - h) = bki =A&, - Mlh
P,,(ao - 2h) = bka = Mo - 2Mlh + 2!Mshj2
Pn(ao - qh) = bk,, = Mo - qMlh + q(q - 1)M2h2 - q(q - l)(q ~ 2)M#
+. . . + (-l)“q!M<,h’J
À présent, nous allons exprimer de proche en proche les coefficients NI, au moyen des
opérateurs de difference définis au paragraphe préccdent. On obtient donc :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A”b,,
N,, = ~
n! h”
Pour des raisons de concision d’écriture il est commode de poser :
Ainsi l’expression devient :
PrL(z) = b,, + zA1bo + ~~2b0 + . + 42 - 1) ‘. b ~ ( TL - 111 *nbo,
l
(6.5)
1%.
Cette formule s’appelle polynôme de Newton descendant. Elle est utilisk pour effectuer des
interpolations en tête dc tableau (ce qui signifie que l’on réalise l’interpolation avec le dcbut du
tableau et non pas avec tout le tableau).
Pour obtenir les interpolations en queue de tableau ~ disons avec le dcrnicr quart des
données
~~ il suffît d’écrire le polynôme de Newton en considérant 1111 pas négatif; c’est-à-dire
en changeant de signe la raison de la progression arithmétique. L’expression (6.4) devient :
P,L(x) = Mo + Ml(z ~ uo) + Mz(x - u,,)(z ~ ao + h)
+...+Mn(rx - uo) . . . [x - a0 + (n- l)h].
(6.6)
Comme précédemment, on donnera à z les valeurs ae ~ kh avec k = 0, 1,2, . n, rnais, pour
éviter toute confusion, on affcctcra un indice aux valeurs correspondantes des ordonnées avec
un signe ncgatif, soit b-k. On obtient alors :
P,, (ao)
= b. = Mo
P,(a,, - h) = bki =A&, - Mlh
P,,(ao - 2h) = bka = Mo - 2Mlh + 2!Mshj2
Pn(ao - qh) = bk,, = Mo - qMlh + q(q - 1)M2h2 - q(q - l)(q ~ 2)M#
+. . . + (-l)“q!M<,h’J