MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
La signification des différences est simple, ce sont les expressions numériques approchees des
valeurs dc la dérivée première, de la. dérivce deuxième; etc. au point (Q., bk).
Ici la valeur au est la valeur initiale de la suite, mais on peut très bien ecrire les formules
d’approximation en choisissant pour valeur initiale ao urr point d’int,érêt
particulier dans le
tableau des données ; dans ce cas, les abscisses précédant ~0 sont notecs par des indices negatifs :
Cette dernièrr rernarque conduit à l’écriture dc différentes formes du polynôme de Lagrange
qui offrent de grands avantages lorsque l’on ne désire employer qu’une partie restreinte du tableau
initial des données. Ces différentes forrncs portent le nom du savant qui s’est attaché à une de
ces études: on étudiera donc les polynômes ascendant et descendant de Newton les polynômes
de Stirling et dc Bessel.
Dans lc cas où l’on utilise toutes les données du tableau, soit (n + 1) points, t,ous les
polynômes que nous venons d’évoquer donnent alors les mêmes résultats puisque ce ne sont
que des expressions différentes du même polynôme de Lagrange. Toutefois nous verrons une
petite nuance concernant les polynômes de Stirling et dc Bessel qui sont respectivement l’un
pair l’autre impair, mais cela nc restreint pas la généralité de notre propos.
7. Les polynômes d’interpolation de Newton (1643-1727)
Reprenons l’équation (6.3) dans laquelle nous tenons compte du fait, que les abscisses sont en
progression arithmctique :
P,l(z) = No + Nl(n: - ao) + N2(z ~ uo)(z - un ~ h)
+ . . + N,(z ~ uo) . [x - un ~ (n - l)h].
(6.4)
Pour obtenir les valeurs des (n - 1) coefhcients Nk: il suffit de donner à z la suite des valeurs
ao + kh avec k = 0, 1,2,. . : n. À l’aide des diffcrences premiercs. deuxièmes etc., le tableau
précédent st transforme ainsi :
2
b
A16
A2b
A”b
A4b
.
QO
bn
uo + h
bl A’bo
a,, + 2h b2 Albi A”bo
no + 3h bx A’b2 A2bl A”bo
a0 + 4h bd A1b3 A2bz
A”bl A4bl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On obtient alors :
P,z,(ao)
= b. =No
Pr, (ajo + h) = bl =No + NI11
PT,(uo + 2h) = b2 =No + 2N1h + 2!N2h2
. . . . . . . . . . .
P,, (uo + qh) = b, =No + qNlh + q(q - l)N2h2 + q(q - l)(q ~ 2)N:jh” + . + q!N,hq
. . . . . . . . . . .
Pn(uo + nh) = b, =No + nNlh + n(n ~ l)N2h2 + n(n ~ l)(n - 2)N:# + . + n!N,h’“.
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La signification des différences est simple, ce sont les expressions numériques approchees des
valeurs dc la dérivée première, de la. dérivce deuxième; etc. au point (Q., bk).
Ici la valeur au est la valeur initiale de la suite, mais on peut très bien ecrire les formules
d’approximation en choisissant pour valeur initiale ao urr point d’int,érêt
particulier dans le
tableau des données ; dans ce cas, les abscisses précédant ~0 sont notecs par des indices negatifs :
Cette dernièrr rernarque conduit à l’écriture dc différentes formes du polynôme de Lagrange
qui offrent de grands avantages lorsque l’on ne désire employer qu’une partie restreinte du tableau
initial des données. Ces différentes forrncs portent le nom du savant qui s’est attaché à une de
ces études: on étudiera donc les polynômes ascendant et descendant de Newton les polynômes
de Stirling et dc Bessel.
Dans lc cas où l’on utilise toutes les données du tableau, soit (n + 1) points, t,ous les
polynômes que nous venons d’évoquer donnent alors les mêmes résultats puisque ce ne sont
que des expressions différentes du même polynôme de Lagrange. Toutefois nous verrons une
petite nuance concernant les polynômes de Stirling et dc Bessel qui sont respectivement l’un
pair l’autre impair, mais cela nc restreint pas la généralité de notre propos.
7. Les polynômes d’interpolation de Newton (1643-1727)
Reprenons l’équation (6.3) dans laquelle nous tenons compte du fait, que les abscisses sont en
progression arithmctique :
P,l(z) = No + Nl(n: - ao) + N2(z ~ uo)(z - un ~ h)
+ . . + N,(z ~ uo) . [x - un ~ (n - l)h].
(6.4)
Pour obtenir les valeurs des (n - 1) coefhcients Nk: il suffit de donner à z la suite des valeurs
ao + kh avec k = 0, 1,2,. . : n. À l’aide des diffcrences premiercs. deuxièmes etc., le tableau
précédent st transforme ainsi :
2
b
A16
A2b
A”b
A4b
.
QO
bn
uo + h
bl A’bo
a,, + 2h b2 Albi A”bo
no + 3h bx A’b2 A2bl A”bo
a0 + 4h bd A1b3 A2bz
A”bl A4bl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On obtient alors :
P,z,(ao)
= b. =No
Pr, (ajo + h) = bl =No + NI11
PT,(uo + 2h) = b2 =No + 2N1h + 2!N2h2
. . . . . . . . . . .
P,, (uo + qh) = b, =No + qNlh + q(q - l)N2h2 + q(q - l)(q ~ 2)N:jh” + . + q!N,hq
. . . . . . . . . . .
Pn(uo + nh) = b, =No + nNlh + n(n ~ l)N2h2 + n(n ~ l)(n - 2)N:# + . + n!N,h’“.
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