6. L’INTERPOLATION
expression dans laquelle on fait x = ~2, ce qui donne :
Qn-2(a2) = Qrr-l(d - B1 = B 2,
a2 - a1
soit encore :
B
2
= ba ~ bo - &(a2 - uo)
(aa -ao)(az - a)
On poursuit de la même façon le calcul pour obtenir tous les Bk.
Récapitulation de la conduite du calcul
Sur le tableau ci-dessous on a représenté la suite des opérations qui permet de calculer tous les
Bj.
aoh~ = BO
h - bo
a1h ~
a1 ~ ao
= q:L-l = Bl
bz - b.
dz- = d-1
4:-l - 421 ~ q;lp2 = B2
a2 - ao
a2 - a1
b:3 - bo
u3b3- = Ll
qn-1 ~ d-1
us - a0
a3 - a1
= q”p2q;-2 ~ La
7?
a:< - CL2
= q;p3 = B3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Cas où les abscisses sont en progression arithmétique
Désignons par h la raison de la progression ; nous avons donc la suite des abscisses donnée par :
uo, a1 = uo + h, u2 = au + 2h,. , un = uo + nh.
C’est un cas particulier, certes, mais il est très répandu, et & ce titre il mérite d’être examiné
car il conduit à des expressions très connues et très simples d’emploi. Pour aborder cette étude
il nous faut au préalable définir les opérateurs de différence.
On appelle différence première d’ordre k la valeur A bk donnée par l’expression :
A1bk = bktl ~ bk = f[uo + (k + l)h] - f(uo + kh).
Ensuite, on définit les différences deuxièmes d’ordre k :
A2bk = A1bk+l ~ A’bk
et ainsi de suite pour les différences troisièmes, quatri?mes, etc. D’une façon générale on définira
les différences pe d’ordre k au moyen de la relation :
Remarque : Si les valeurs (ui, b,) sont données par un polynôme de degri: m (f(z) = PTrL(x)) j
il va de soi que les différences d’ordre k supérieures à m sont nulles et que toutes les différences
me sont égales.
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