MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
permet de passer de l’intervalle (-1, +l) à l’intervalle (a, b). 0 n en déduit que lc polynôme de
Tchebycheff de degré (n + 1) à coefficient principal réduit defini sur (a, b) a pour forme :
ce changement de variable donne également les zéros de ce polynôme :
a+b b-a
xk = ~ 2 + 2 COS
74% + 1)
2(n + 1)
avec k=O,1,2 ,..., n.
Pour minimiser l’erreur: il faut choisir les ak identiques aux xk qui sont donnés par l’expression (6.2).
Remarque : Il est à noter que l’erreur est donc minimum pour un partage de l’intervalle 1 selon
les xk, et cela est indépendant de la fonction à interpoler. Cette règle demeure dans lc cas où la
fonction f(x) est connue empiriquement, ct la meilleure facon d’obtenir des valeurs exploitables
avec la plus petite erreur repose sur le choix des xk donnés par l’expression (6.2). On insiste donc
sur la généralité de ce théorème qui ne préjuge en rien de la nature de la fonction à interpoler
si ce n’est l’hypothèse traditionnelle de continuité.
5. Autre disposition pratique du calcul du polynôme de Lagrange
Il faut bien reconnaître que le calcul effectif du polynôme de Lagrange pour un ensemble
de valeurs de z demande un travail assez laborieux, aussi préfère-t-on employer
une autre
expression qui conduit à des calculs plus économiques et surtout qui permettra d’établir un
certain nombre d’autres formes réputées canoniques. Pour ce faire, on se propose d’adopter la
disposition suivante :
Pn(x) = BO + Bl(X ~ uo) + Ba(x - uo)(x - Ul)
+ . . + B,(x - uo)(x - ul) . (x - u,-~); (6.3)
dont il faut déterminer les Bk. D’abord on a F’,(Q) = bo = BO, ensuite on peut poser :
Qn-l(x) =
Pr?,(x) - bo
x - a()
= &+ Ba(x - Ul)-t L%(x ~ Ul)(X - u2)
+. . . + B,(x ~ Ul)(X ~ u2). . (x - Un-l),
ce qui permet d’écrire
Qnpi(al) = !!LI!f! = ~~
ai - a0
Considérons à présent :
Q7,-2(x) = Q+l(x) ~ B1
2 - a1
= B2 + &(x ~ ~2) + Bd(2 - uz)(x ~ a:s)
+ . . + B,(x ~ u~)(x - as) . (x - anpl),
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
permet de passer de l’intervalle (-1, +l) à l’intervalle (a, b). 0 n en déduit que lc polynôme de
Tchebycheff de degré (n + 1) à coefficient principal réduit defini sur (a, b) a pour forme :
ce changement de variable donne également les zéros de ce polynôme :
a+b b-a
xk = ~ 2 + 2 COS
74% + 1)
2(n + 1)
avec k=O,1,2 ,..., n.
Pour minimiser l’erreur: il faut choisir les ak identiques aux xk qui sont donnés par l’expression (6.2).
Remarque : Il est à noter que l’erreur est donc minimum pour un partage de l’intervalle 1 selon
les xk, et cela est indépendant de la fonction à interpoler. Cette règle demeure dans lc cas où la
fonction f(x) est connue empiriquement, ct la meilleure facon d’obtenir des valeurs exploitables
avec la plus petite erreur repose sur le choix des xk donnés par l’expression (6.2). On insiste donc
sur la généralité de ce théorème qui ne préjuge en rien de la nature de la fonction à interpoler
si ce n’est l’hypothèse traditionnelle de continuité.
5. Autre disposition pratique du calcul du polynôme de Lagrange
Il faut bien reconnaître que le calcul effectif du polynôme de Lagrange pour un ensemble
de valeurs de z demande un travail assez laborieux, aussi préfère-t-on employer
une autre
expression qui conduit à des calculs plus économiques et surtout qui permettra d’établir un
certain nombre d’autres formes réputées canoniques. Pour ce faire, on se propose d’adopter la
disposition suivante :
Pn(x) = BO + Bl(X ~ uo) + Ba(x - uo)(x - Ul)
+ . . + B,(x - uo)(x - ul) . (x - u,-~); (6.3)
dont il faut déterminer les Bk. D’abord on a F’,(Q) = bo = BO, ensuite on peut poser :
Qn-l(x) =
Pr?,(x) - bo
x - a()
= &+ Ba(x - Ul)-t L%(x ~ Ul)(X - u2)
+. . . + B,(x ~ Ul)(X ~ u2). . (x - Un-l),
ce qui permet d’écrire
Qnpi(al) = !!LI!f! = ~~
ai - a0
Considérons à présent :
Q7,-2(x) = Q+l(x) ~ B1
2 - a1
= B2 + &(x ~ ~2) + Bd(2 - uz)(x ~ a:s)
+ . . + B,(x ~ u~)(x - as) . (x - anpl),
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