6. L’INTERPOLATION
intervalle contenant z et les ai (dans le cas de l’extrapolation z n’appartient pas à l’intervalle 1
précédemment défini). Nous obtenons alors l’expression suivante :
de là nous tirons l’expression de l’erreur E(z) :
Comme chaque fois en pareil cas, on procède à la majoration de f cn+r) (Or) dans l’intervalle
adéquat. R,appelons que cet intervalle sera plus grand que I s’il s’agit d’une extrapolation,
c’est-à-dire que I I : n’appartient pas à l’intervalle 1. Désignons par M,!,+r la limite supérieure de
f’“+‘)(x) dans l’intervalle concerné, l’expression de l’erreur devient :
E(x) < (ri+;)! i=.
~
~
fi(x - a,)
On voit immédiatement que l’erreur est nulle sur les points d’échantillonnage et qu’cllr est
tres petite dans le voisinage de ces points. De plus il est important de noter que l’expression de
E(z) varie en fonction de x et que, de plus, elle dépend des points C L ~ . On peut alors se poser la
question de savoir comment choisir les ak pour que l’erreur E(z) soit minimum.
4. Comment minimiser E(x)
La seule façon possible de réaliser l’opération est de rendre minimum l’expression n~=,(~ - a,)
qui n’est rien d’autre qu’un polynôme de de@ (n + 1). Nous montrerons au chapitre 9 le
théorème suivant : parmi tous les polynômes à coefficient principal réduit de degré (7~ + 1).
c’est le polynôme de Tchebycheff (1821-1894) qui s’écarte le rnoins de l’axe des x sur l’intervalle
(-1, +l). Ce polynôme a pour expression :
T,,,+r(z) = & COS[(~ + l)Arcos(z)]
Les zéros de ce polynôme sont donnés par :
(n + l)Arcos(zk) = 5(2k + l),
soit :
zk = Cos
7r(2k + 1)
=
2(n + 1) avec k
0, 1,2:. . . , n.
En réalité, on ne travaille pas sur l’intervalle (-1, +l), mais sur l’intervalle 1 dont la borne
inférieure est a et la borne supérieure b. Le changement de variable :
2x-u-b
Z=
b-u
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intervalle contenant z et les ai (dans le cas de l’extrapolation z n’appartient pas à l’intervalle 1
précédemment défini). Nous obtenons alors l’expression suivante :
de là nous tirons l’expression de l’erreur E(z) :
Comme chaque fois en pareil cas, on procède à la majoration de f cn+r) (Or) dans l’intervalle
adéquat. R,appelons que cet intervalle sera plus grand que I s’il s’agit d’une extrapolation,
c’est-à-dire que I I : n’appartient pas à l’intervalle 1. Désignons par M,!,+r la limite supérieure de
f’“+‘)(x) dans l’intervalle concerné, l’expression de l’erreur devient :
E(x) < (ri+;)! i=.
~
~
fi(x - a,)
On voit immédiatement que l’erreur est nulle sur les points d’échantillonnage et qu’cllr est
tres petite dans le voisinage de ces points. De plus il est important de noter que l’expression de
E(z) varie en fonction de x et que, de plus, elle dépend des points C L ~ . On peut alors se poser la
question de savoir comment choisir les ak pour que l’erreur E(z) soit minimum.
4. Comment minimiser E(x)
La seule façon possible de réaliser l’opération est de rendre minimum l’expression n~=,(~ - a,)
qui n’est rien d’autre qu’un polynôme de de@ (n + 1). Nous montrerons au chapitre 9 le
théorème suivant : parmi tous les polynômes à coefficient principal réduit de degré (7~ + 1).
c’est le polynôme de Tchebycheff (1821-1894) qui s’écarte le rnoins de l’axe des x sur l’intervalle
(-1, +l). Ce polynôme a pour expression :
T,,,+r(z) = & COS[(~ + l)Arcos(z)]
Les zéros de ce polynôme sont donnés par :
(n + l)Arcos(zk) = 5(2k + l),
soit :
zk = Cos
7r(2k + 1)
=
2(n + 1) avec k
0, 1,2:. . . , n.
En réalité, on ne travaille pas sur l’intervalle (-1, +l), mais sur l’intervalle 1 dont la borne
inférieure est a et la borne supérieure b. Le changement de variable :
2x-u-b
Z=
b-u
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