MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Comme l’indice j prend toutes les valeurs de 0 à n, excepté la valeur i: les produits seront
toujours tous nuls sauf celui pour lequel nous aurons i = k. On en déduit l’expression suivante :
n
brc = Ak: l-&k: - aj).
j=o
.7#i
Nous tirons alors la valeur de Ak: que nous reportons dans l’expression de P,,(z) :
(6.1)
P,(z) est donc le polynôme passant, par tous les points de l’echantillonnagc, et nous en avons
obtenu deux expressions. Il convient d’ajouter que ce polynôme peut être utilisé aussi bien pour
réaliser une interpolation qu’ime extrapolation.
Comme par expérience on sait que l’extrapolation est une opération peu précise loin du
domaine 1, il est nécessaire dès à présent de se faire une opinion skieuse sur l’erreur commise
en remplaçant une fonction f(z) échantillonnée par le polynôme de P,,(X), et c’est l’expression
due à Lagrange qui va nous pcrrnettre de résoudre le problème.
3. Évaluation de l’erreur
Supposons que f(z), remplacée par PT2 (ix), soit (7~ + 1) fois derivablc sur l’intervalle 1, et
considérons la fonction auxiliaire Q(U) définie comme suit :
I-p - Ui )
Q(u) = f(u) - P,(u) - [f(x) - P&)] y
.
ncx - CG)
i=O
Cette fonction @(u) qui apparaîtra sans doute un peu artificielle va nous permettre d’exprimer
aisément la valeur absolue de l’erreur E(x) commise en effectuant le remplacement de f(z) par
ce qui, par parenthèses, explique la structure de Q(U). Pour parvenir à notre fin, dérivons (n + 1)
fois la fonction Q(u) par rapport à U, ce qui donne :
Remarquons que la fonction Q(U) s’annule pour toutes les valeurs u = ai mais aussi pour
la valeur u = IC. L’application successive du théorème de Rolle (165221719) à (a(u) pcrrnet
de voir que la dérivée @(“+l) (u) s’annule pour une valeur u = < appartenant au plus petit
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Comme l’indice j prend toutes les valeurs de 0 à n, excepté la valeur i: les produits seront
toujours tous nuls sauf celui pour lequel nous aurons i = k. On en déduit l’expression suivante :
n
brc = Ak: l-&k: - aj).
j=o
.7#i
Nous tirons alors la valeur de Ak: que nous reportons dans l’expression de P,,(z) :
(6.1)
P,(z) est donc le polynôme passant, par tous les points de l’echantillonnagc, et nous en avons
obtenu deux expressions. Il convient d’ajouter que ce polynôme peut être utilisé aussi bien pour
réaliser une interpolation qu’ime extrapolation.
Comme par expérience on sait que l’extrapolation est une opération peu précise loin du
domaine 1, il est nécessaire dès à présent de se faire une opinion skieuse sur l’erreur commise
en remplaçant une fonction f(z) échantillonnée par le polynôme de P,,(X), et c’est l’expression
due à Lagrange qui va nous pcrrnettre de résoudre le problème.
3. Évaluation de l’erreur
Supposons que f(z), remplacée par PT2 (ix), soit (7~ + 1) fois derivablc sur l’intervalle 1, et
considérons la fonction auxiliaire Q(U) définie comme suit :
I-p - Ui )
Q(u) = f(u) - P,(u) - [f(x) - P&)] y
.
ncx - CG)
i=O
Cette fonction @(u) qui apparaîtra sans doute un peu artificielle va nous permettre d’exprimer
aisément la valeur absolue de l’erreur E(x) commise en effectuant le remplacement de f(z) par
ce qui, par parenthèses, explique la structure de Q(U). Pour parvenir à notre fin, dérivons (n + 1)
fois la fonction Q(u) par rapport à U, ce qui donne :
Remarquons que la fonction Q(U) s’annule pour toutes les valeurs u = ai mais aussi pour
la valeur u = IC. L’application successive du théorème de Rolle (165221719) à (a(u) pcrrnet
de voir que la dérivée @(“+l) (u) s’annule pour une valeur u = < appartenant au plus petit
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