6. D’INTERPOLATION
que nous écrirons d’une manière plus concise sous la forme :
Aa = B.
Le déterminant de la matrice A est un déterminant de Vandermonde pour lequel tous les uk
sont différents :
j=,n kzn
det[A] = n n(aj - uk).
J=O k>j
Comme conséquence immédiate il s’ensuit que la solution existe et qu’elle est unique.
Si l’on se situe dans un contexte historique, à l’époque de Lagrange (173661813), le calcul des
coefficients ne pouvait pas s’effectuer par la résolution d’un système linéaire dès que l’ordre de
la matrice dépassait quelques unités, et Lagrange proposa une technique qui a permis de réaliser
directement l’interpolation sans calculer explicitement les coefficients du polynôme. C’est cette
méthode que nous exposons maintenant.
Considerons un polynôme de degri: (ß + 1) appelé QTL+r(z) et défini par la relation :
.7=0
À présent, décomposons le rapport Pn(z)/Qn+r( z en éléments simples, opération possible
)
puisque, par hypothèse, tous les uk: sont différents; nous pouvons écrire :
pn (xl
Ai
Qn+~(x)
=k
2To (x - ~1
d’où l’expression prise par le polynôme PTL(x) :
Comme il est possible d’écrire que :
nous obtenons alors :
P,(x) = c Ai . fi,, - a,?).
i=o
j=o
j#a
Maintenant il nous faut chercher à expliciter les A, en tenant compte du fait que le polynôme
doit passer par les points d’échantillonnage. Cela donne les relations suivantes :
pn(ak) = bk = 2 A, . fi& - q),
i=o
J=O
3#i
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