MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
éventuellement après qu’auront été abordés quelques éléments de statistique, la méthode des
moindres carrés et la transformée de Fourier.
1. De la légitimité de l’interpolation
En règle générale, la fonction f(z) connue au moyen d’un échantillon de points est continue sur
l’intervalle 1 que nous venons de définir. Il s’ensuit que sur cet intervalle elle peut être approchée
uniformément par un polynôme et cela en vertu du théorème de Weierstrass (181551897). Du
reste il n’y a pas de difficulté à généraliser cette proposition au cas où l’approximation est réalisée
par un système quelconque de fonctions pourvu qu’il soit complet.
Les systèmes complets usuels sont : le système des puissances (les polynômes orthogonaux
usuels), le système des sinus et des cosinus, les fonctions de Bessel, les fonctions du cylindre
parabolique etc.
L’idée d’interpoler par un polynôme est bien antérieure à la publication du théorème de
Weierstrass (1815-1897) et elle a été exploitée par de nombreux savants mais c’est le nom de
Lagrange qui est resté attaché à cette technique. Comme elle présente un grand intérêt théorique,
nous allons nous y attarder quelque peu.
2. Le polynôme de Lagrange (1736-1813)
Le problème consiste à obtenir le polynôme de degré n qui passe par les (n + 1) points de
l’échantillon. Les abscisses au, ai, . . . ulL appartiennent à l’intervalle I qui est le plus petit possible,
et la fonction réelle f(z) prend les valeurs bc, bi, . b, correspondant aux abscisses respectives.
Aucune hypothèse n’est faite sur les échantillons à cette réserve près toutefois que, pour une
valeur donnée de arc, il ne peut correspondre qu’une seule valeur bk. Cela implique que tous les
ah: sont différents. Si tel n’était pas le cas, il conviendrait d’effectuer une partition (ou plusieurs)
pour réaliser cette condition, et l’on associerait à chacune des partitions obtenues un polynôme
de Lagrange unique. Supposons que pour la valeur ak il y ait deux valeurs 1 ~ 1 et ~2, cela veut
dire que l’on découpe l’intervalle 1 en deux sous-intervalles 11 et I2 ayant uk comme intersection
commune.
y1 et y2 sont attribués chacun à l’intervalle correspondant 11 ou I2 donné par l’allure
de la courbe représentative.
Tout cela précisé, nous allons établir l’existence de ce polynôme unique de degré n que nous
désignons par &(z) et qui s’explicite de la façon suivante :
PT>,(Z) = Qo + QI2 + ‘. + Qn-lx7L-1 + Cy,ci? = c a!&&
k=O
En utilisant le fait que ce polynôme P,(z) doit prendre la valeur bk lorsque la variable z prend
la valeur ak, nous obtenons le système linéaire Suivant
1 au ao ui . . at
1 a1
C L :
a: . . G
1 a2 CI ~ a$ . . . ay
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 a, CL; CL: . . un
90
a0
bo
a1
bl
(~2 = b
%
bn
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
éventuellement après qu’auront été abordés quelques éléments de statistique, la méthode des
moindres carrés et la transformée de Fourier.
1. De la légitimité de l’interpolation
En règle générale, la fonction f(z) connue au moyen d’un échantillon de points est continue sur
l’intervalle 1 que nous venons de définir. Il s’ensuit que sur cet intervalle elle peut être approchée
uniformément par un polynôme et cela en vertu du théorème de Weierstrass (181551897). Du
reste il n’y a pas de difficulté à généraliser cette proposition au cas où l’approximation est réalisée
par un système quelconque de fonctions pourvu qu’il soit complet.
Les systèmes complets usuels sont : le système des puissances (les polynômes orthogonaux
usuels), le système des sinus et des cosinus, les fonctions de Bessel, les fonctions du cylindre
parabolique etc.
L’idée d’interpoler par un polynôme est bien antérieure à la publication du théorème de
Weierstrass (1815-1897) et elle a été exploitée par de nombreux savants mais c’est le nom de
Lagrange qui est resté attaché à cette technique. Comme elle présente un grand intérêt théorique,
nous allons nous y attarder quelque peu.
2. Le polynôme de Lagrange (1736-1813)
Le problème consiste à obtenir le polynôme de degré n qui passe par les (n + 1) points de
l’échantillon. Les abscisses au, ai, . . . ulL appartiennent à l’intervalle I qui est le plus petit possible,
et la fonction réelle f(z) prend les valeurs bc, bi, . b, correspondant aux abscisses respectives.
Aucune hypothèse n’est faite sur les échantillons à cette réserve près toutefois que, pour une
valeur donnée de arc, il ne peut correspondre qu’une seule valeur bk. Cela implique que tous les
ah: sont différents. Si tel n’était pas le cas, il conviendrait d’effectuer une partition (ou plusieurs)
pour réaliser cette condition, et l’on associerait à chacune des partitions obtenues un polynôme
de Lagrange unique. Supposons que pour la valeur ak il y ait deux valeurs 1 ~ 1 et ~2, cela veut
dire que l’on découpe l’intervalle 1 en deux sous-intervalles 11 et I2 ayant uk comme intersection
commune.
y1 et y2 sont attribués chacun à l’intervalle correspondant 11 ou I2 donné par l’allure
de la courbe représentative.
Tout cela précisé, nous allons établir l’existence de ce polynôme unique de degré n que nous
désignons par &(z) et qui s’explicite de la façon suivante :
PT>,(Z) = Qo + QI2 + ‘. + Qn-lx7L-1 + Cy,ci? = c a!&&
k=O
En utilisant le fait que ce polynôme P,(z) doit prendre la valeur bk lorsque la variable z prend
la valeur ak, nous obtenons le système linéaire Suivant
1 au ao ui . . at
1 a1
C L :
a: . . G
1 a2 CI ~ a$ . . . ay
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 a, CL; CL: . . un
90
a0
bo
a1
bl
(~2 = b
%
bn