6 L’interpolation
Avant dc dkvelopper
le thème dc l’interpolation, il est sans doute utile de prkiscr la nature du
problème propos& car, très souvent, les opkrations d’interpolation et les opérations de lissage
sont confondues dans l’esprit de bien des utilisateurs. Que ce soient des résultats expérimentaux
ou que ce soient des tables, la plupart des fonctions, au sens large, ne nous sont données que pour
un cnscmblc discret de points qui constitue un échantillon. Toutes les fonctions transcendantes
dites spéciales ont fait l’objet de tabulation pour des valeurs dc la variable en progression
arithmi:tique. Bien entendu il est rare que la valeur de la fonction figure dans la table pour la
valeur dont on a réellement besoin et l’on est obligé de se livrer à une opération d’interpolation
voire d’extrapolation ~~ pour obtenir le résultat désiré.
Un problème idcntiquc apparaît lorsque l’on veut traiter mm~ériquement
III~ ensemble dc
résultats expérimcntIaux quand bien mCmc lc procédé utilisé pour les recueillir eut i:ti: réalisf:
par voie analogique.
Bref, c’est l’éternel problème : on ne peut avoir accès qu’à 1111 nombre fini de valeurs. Le
problèrne posé par l’interpolation ne doit pas être dissocié à proprement parler du problème
dc l’extrapolation (dans la mesure où il s’agit d’effectuer une extrapolation qui a effectivement
un sens). Quel que soit le problème auquel on s’attache, on dispose toujours au départ d’un
ensemble fini d’ordomkes correspondant à un ensemble fini d’abscisses, ces deux cnscmbles
appartenant nécessairement k des intervalles finis. Appelons I l’intervalle de définition des
abscisses. Ces ensembles de valeurs constituent un échantillon de la fonction f(z) à laquelle
nous nous intéressons.
Quand nous cherchons à connaître f(z) 1 loin- une quelconque valeur appartenant à 1, hormis
pour les points dc l’échantillon, nous dirons que nous effectuons une interpolation. En revanche,
quand nous cherchons à obtenir f(z) pour une valeur de z située à l’extérieur de 1, nous dirons
que nous rkalisons une extrapolation. Ces deux problèmes s’abordent de la même façon, mais
c’est le calcul d’erreur qui va introduire une diff&ence entre les deux. Au passage, nous noterons
que l’extrapolation dans les voisinages immédiats des bornes de 1 fournit d’excellents résultats.
Pour ce qui concerne les opbrations dc lissage, il faut dire qu’elles ont un autre but : il s’agit
avant tout d’eflectuer un filtrage sur un ensemble de données entachkes d’erreur. On cherche alors
à rendre compte d’une allure globale des donmks expérimentales au moyen de fonctions plus
ou moins arbitraires dont on ajustera les paramètres
le plus souvent en utilisant la méthode
des rnoindres carrés ~~ mais, cc qui importera en priorité, sera l’élimination de ces erreurs qui
constituent un bruit de fond. Nous aurons amplement l’occasion d’approfondir ce problème,
et nous examinerons un certain nornbre de méthodes qui rkalisent ces opérations dc filtrage
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Avant dc dkvelopper
le thème dc l’interpolation, il est sans doute utile de prkiscr la nature du
problème propos& car, très souvent, les opkrations d’interpolation et les opérations de lissage
sont confondues dans l’esprit de bien des utilisateurs. Que ce soient des résultats expérimentaux
ou que ce soient des tables, la plupart des fonctions, au sens large, ne nous sont données que pour
un cnscmblc discret de points qui constitue un échantillon. Toutes les fonctions transcendantes
dites spéciales ont fait l’objet de tabulation pour des valeurs dc la variable en progression
arithmi:tique. Bien entendu il est rare que la valeur de la fonction figure dans la table pour la
valeur dont on a réellement besoin et l’on est obligé de se livrer à une opération d’interpolation
voire d’extrapolation ~~ pour obtenir le résultat désiré.
Un problème idcntiquc apparaît lorsque l’on veut traiter mm~ériquement
III~ ensemble dc
résultats expérimcntIaux quand bien mCmc lc procédé utilisé pour les recueillir eut i:ti: réalisf:
par voie analogique.
Bref, c’est l’éternel problème : on ne peut avoir accès qu’à 1111 nombre fini de valeurs. Le
problèrne posé par l’interpolation ne doit pas être dissocié à proprement parler du problème
dc l’extrapolation (dans la mesure où il s’agit d’effectuer une extrapolation qui a effectivement
un sens). Quel que soit le problème auquel on s’attache, on dispose toujours au départ d’un
ensemble fini d’ordomkes correspondant à un ensemble fini d’abscisses, ces deux cnscmbles
appartenant nécessairement k des intervalles finis. Appelons I l’intervalle de définition des
abscisses. Ces ensembles de valeurs constituent un échantillon de la fonction f(z) à laquelle
nous nous intéressons.
Quand nous cherchons à connaître f(z) 1 loin- une quelconque valeur appartenant à 1, hormis
pour les points dc l’échantillon, nous dirons que nous effectuons une interpolation. En revanche,
quand nous cherchons à obtenir f(z) pour une valeur de z située à l’extérieur de 1, nous dirons
que nous rkalisons une extrapolation. Ces deux problèmes s’abordent de la même façon, mais
c’est le calcul d’erreur qui va introduire une diff&ence entre les deux. Au passage, nous noterons
que l’extrapolation dans les voisinages immédiats des bornes de 1 fournit d’excellents résultats.
Pour ce qui concerne les opbrations dc lissage, il faut dire qu’elles ont un autre but : il s’agit
avant tout d’eflectuer un filtrage sur un ensemble de données entachkes d’erreur. On cherche alors
à rendre compte d’une allure globale des donmks expérimentales au moyen de fonctions plus
ou moins arbitraires dont on ajustera les paramètres
le plus souvent en utilisant la méthode
des rnoindres carrés ~~ mais, cc qui importera en priorité, sera l’élimination de ces erreurs qui
constituent un bruit de fond. Nous aurons amplement l’occasion d’approfondir ce problème,
et nous examinerons un certain nornbre de méthodes qui rkalisent ces opérations dc filtrage
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