5. É LÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
On désire obtenir la forme suivante :
bl - X -bz
-by . . -b,-l -b,,
1
-A
0
0
0
B(X) = 0
1
-A
:::
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
.
..l
-A
On passe du déterminant A(X) au déterminant B(X) au moyen de combinaisons lincaircs soit
de lignes, soit de colonnes (cf. la méthode des pivots concernant la résolution des systèmes
linéaires). La transformation s’effectue de bas en haut, à savoir :
1. On divise l’avant-dernière colonne par ~,~,~~,-r p our amener 1 a la place de u,,,,,~1 (les pivots
de la transformation se situent sur la première sous-diagonale). Pour conserver le coefficient
1 devant A, on est amené à multiplier l’avant-dernière ligne par u~,~-I. On désigne par u:~~
les valeurs obtenues sur la dernière ligne.
2. Ensuite, on combine linéairement les colonnes pour que le déterminant ait sa dernière ligne
selon la forme canonique :
0
0
.
.
.
0
1
Pour cela on rnultiple l’avant dernière colonne par uiIq et l’on retranche le résultat de la
colonne 4, avec 4 = 0, 1,2, . . , n - 2: n. Cette opération a amené des tcrrncs en X sur l’avant
dernicrc ligne avec les coefficients a&, 4 = 1,2, . , n - 2,n, qu’il faut à préscnt éliminer sauf
sur la diagonale principale.
3. En retranchant terme à terme la première ligne multipliée par uLq, on fait disparaître X du
premier élérnent un-l,1 de l’avant-dernière ligne. On opère de la même façon avec la dcuxihmc
ligne multipliée par un2 pour éliminer le terme en X de un-r,2 et ainsi de suite pour obtenir
l’avant dernière ligne privée de termes en X excepté l’élément diagonal.
On passe ensuite au pivot suivant qui est l’élérncnt ~~&-1,~,-2, on divise alors la ligne (n - 1)
par cet Clement et on rnultiplie la colonne (n ~ 1) par ce même élément, puis on poursuit les
calculs de la même manière que pour la ligne n.
Cas où un pivot est nul - Si un pivot est nul la rnéthode tombe en défaut. Supposons qu’il
s’agisse du pivot ak,k-r alors on regarde dans la ligne k si un des termes compris entre les
colonnes 1 et k - 2 est différent de zéro. Supposons qu’il en soit ainsi et que le tcrmc c&rl soit
differcnt dc zcro. On ajoute alors les éléments de la colonne 4 à ceux de la colonne ic - 1. Cette
opération fait apparaître un terme en X sur la ligne q et la colonne Ic - 1. On le fait disparaître
en retranchant à la ligne 4 la ligne 4 + 1.
Le cas où il n’y a que des zéros sur la ligne Ic dont le pivot est nul rnontre que les calculs ne
peuvent pas se poursuivre de cette manière, mais le déterminant est alors le produit de deux
déterminants dont l’un a la forme voulue de Frobenius et l’autre la forme ordinaire. À ce dernier
déterminant, on peut alors faire subir à nouveau le traiternent de Danilevski. Dans le cas le plus
défavorable, on aura un produit de déterminants chacun écrit sous la forme ordinaire.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme danilev . c qui calcule les valeurs propres réelles des
matrices réelles.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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On désire obtenir la forme suivante :
bl - X -bz
-by . . -b,-l -b,,
1
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0
0
0
B(X) = 0
1
-A
:::
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
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..l
-A
On passe du déterminant A(X) au déterminant B(X) au moyen de combinaisons lincaircs soit
de lignes, soit de colonnes (cf. la méthode des pivots concernant la résolution des systèmes
linéaires). La transformation s’effectue de bas en haut, à savoir :
1. On divise l’avant-dernière colonne par ~,~,~~,-r p our amener 1 a la place de u,,,,,~1 (les pivots
de la transformation se situent sur la première sous-diagonale). Pour conserver le coefficient
1 devant A, on est amené à multiplier l’avant-dernière ligne par u~,~-I. On désigne par u:~~
les valeurs obtenues sur la dernière ligne.
2. Ensuite, on combine linéairement les colonnes pour que le déterminant ait sa dernière ligne
selon la forme canonique :
0
0
.
.
.
0
1
Pour cela on rnultiple l’avant dernière colonne par uiIq et l’on retranche le résultat de la
colonne 4, avec 4 = 0, 1,2, . . , n - 2: n. Cette opération a amené des tcrrncs en X sur l’avant
dernicrc ligne avec les coefficients a&, 4 = 1,2, . , n - 2,n, qu’il faut à préscnt éliminer sauf
sur la diagonale principale.
3. En retranchant terme à terme la première ligne multipliée par uLq, on fait disparaître X du
premier élérnent un-l,1 de l’avant-dernière ligne. On opère de la même façon avec la dcuxihmc
ligne multipliée par un2 pour éliminer le terme en X de un-r,2 et ainsi de suite pour obtenir
l’avant dernière ligne privée de termes en X excepté l’élément diagonal.
On passe ensuite au pivot suivant qui est l’élérncnt ~~&-1,~,-2, on divise alors la ligne (n - 1)
par cet Clement et on rnultiplie la colonne (n ~ 1) par ce même élément, puis on poursuit les
calculs de la même manière que pour la ligne n.
Cas où un pivot est nul - Si un pivot est nul la rnéthode tombe en défaut. Supposons qu’il
s’agisse du pivot ak,k-r alors on regarde dans la ligne k si un des termes compris entre les
colonnes 1 et k - 2 est différent de zéro. Supposons qu’il en soit ainsi et que le tcrmc c&rl soit
differcnt dc zcro. On ajoute alors les éléments de la colonne 4 à ceux de la colonne ic - 1. Cette
opération fait apparaître un terme en X sur la ligne q et la colonne Ic - 1. On le fait disparaître
en retranchant à la ligne 4 la ligne 4 + 1.
Le cas où il n’y a que des zéros sur la ligne Ic dont le pivot est nul rnontre que les calculs ne
peuvent pas se poursuivre de cette manière, mais le déterminant est alors le produit de deux
déterminants dont l’un a la forme voulue de Frobenius et l’autre la forme ordinaire. À ce dernier
déterminant, on peut alors faire subir à nouveau le traiternent de Danilevski. Dans le cas le plus
défavorable, on aura un produit de déterminants chacun écrit sous la forme ordinaire.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme danilev . c qui calcule les valeurs propres réelles des
matrices réelles.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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