MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Le calcul du produit C = G. D conduit aux nouvelles expressions :
$1 = b,l +&+lbp+l,l
pour p= l,...,n- 1,
Cnl = bd
puis en notant par yk les éléments de C au-dessus de la diagonale principale :
cm = bq + P~+I bp+l,q
pour p = q, . . . , n - 1,
c -b
nq - nq.
À la fin de ce premier tour de calcul, on note $2
de la matrice C. On retranche cc;
la dernière valeur figurant sur la diagonale
de tous les éléments diagonaux et l’on réitère la procédure
jusqu’à ce que la valeur
ne soit plus modifiée par un tour d’itération supplémentaire, c’est-à-dire lorsque l’on a obtenu
la meilleure précision avec la machine utilisée. & est alors une des valeurs propres recherchées.
Une fois obtenu une valeur propre, on réduit l’ordre de la matrice de 1 unité en supprimant
la dernière ligne et la dernière colonne. Ces opérations s’appellent déflation. Ensuite, par le
même procédé, on passe au calcul de la valeur propre suivante. Cette méthode de Rutishauser
concernant les matrices quasi triangulaires converge quadratiquement. (Pratiquement cela
signifie que le nombre de chiffres significatifs exacts est multiplié par un coefficient proche de
deux à chaque tour d’itération.)
Rappelons que les calculs s’effectuent en arithmétique complexe dans le cas général.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme givens . c qui calcule les valeurs propres réelles des
matrices réelles.
4.4. Méthode de Danilevski (1937)
Cette méthode consiste à transformer la matrice A ou plutôt le déterminant caractéristique en sa
forme canonique de Frobenius au moyen de transformations linéaires qui laissent le déterminant
inchangé. Une fois la forme canonique obtenue, on écrit directement l’équation caractéristique
dont on cherche ensuite les racines au moyen d’une méthode appropriée, la méthode de Bairstow
par exemple.
Écrivons l’équation caractéristique A(X) associée à la matrice A :
a11 -A
-12
a13
. . ain-1
a1,
a21
a22 - X a23
. . .
a2+1
a2n
A(A)=
~31
a32
a33 -A . . . a3n-1 a3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
%l
an2
an3
. . GV-1
ann -A
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Le calcul du produit C = G. D conduit aux nouvelles expressions :
$1 = b,l +&+lbp+l,l
pour p= l,...,n- 1,
Cnl = bd
puis en notant par yk les éléments de C au-dessus de la diagonale principale :
cm = bq + P~+I bp+l,q
pour p = q, . . . , n - 1,
c -b
nq - nq.
À la fin de ce premier tour de calcul, on note $2
de la matrice C. On retranche cc;
la dernière valeur figurant sur la diagonale
de tous les éléments diagonaux et l’on réitère la procédure
jusqu’à ce que la valeur
ne soit plus modifiée par un tour d’itération supplémentaire, c’est-à-dire lorsque l’on a obtenu
la meilleure précision avec la machine utilisée. & est alors une des valeurs propres recherchées.
Une fois obtenu une valeur propre, on réduit l’ordre de la matrice de 1 unité en supprimant
la dernière ligne et la dernière colonne. Ces opérations s’appellent déflation. Ensuite, par le
même procédé, on passe au calcul de la valeur propre suivante. Cette méthode de Rutishauser
concernant les matrices quasi triangulaires converge quadratiquement. (Pratiquement cela
signifie que le nombre de chiffres significatifs exacts est multiplié par un coefficient proche de
deux à chaque tour d’itération.)
Rappelons que les calculs s’effectuent en arithmétique complexe dans le cas général.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme givens . c qui calcule les valeurs propres réelles des
matrices réelles.
4.4. Méthode de Danilevski (1937)
Cette méthode consiste à transformer la matrice A ou plutôt le déterminant caractéristique en sa
forme canonique de Frobenius au moyen de transformations linéaires qui laissent le déterminant
inchangé. Une fois la forme canonique obtenue, on écrit directement l’équation caractéristique
dont on cherche ensuite les racines au moyen d’une méthode appropriée, la méthode de Bairstow
par exemple.
Écrivons l’équation caractéristique A(X) associée à la matrice A :
a11 -A
-12
a13
. . ain-1
a1,
a21
a22 - X a23
. . .
a2+1
a2n
A(A)=
~31
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a33 -A . . . a3n-1 a3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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