5. É LÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
Ensuite, les quatre valeurs bq4, pp, qp
b
b et bpq sont remplacées par les quantités :
Cpp = r bpp + s b,,
cqq = -s* bpq + r b,,
C Pq = r bPq + s bqq
cqp = cpq.
Les lignes p et q se transforment par des expressions analogues :
cpi = r bpi + s b,l
cql = -s* bpl + r b,l
avec 1 = 1,2,. . , n.
Toutes ces expressions viennent se substituer aux éléments correspondants dans la matrice A.
Dans le cas où ~~-1,~ = 0, alors on prend bp-l,p = ap-l,q p uis r = 0 et s = 1, ce qui correspond
à une rotation de 7r/2.
Cette méthode nous conduit donc à obtenir une matrice quasi triangulaire inférieure. Une telle
matrice se décompose aisément selon la méthode de Rutishauser en une matrice triangulaire
inférieure D et une matrice triangulaire supérieure G.
Pour des raisons de commodité d’écriture, on note la matrice A au moyen des aij pour la partie
triangulaire et o1 pour la diagonale située immédiatement au-dessus de la diagonale principale.
On écrit donc :
a11
a2
0
. . .
0
a21
a22
a3
. . . 0
a31
a32
a33
. . 0
A=
a41 a42
a43
. . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an-l,1
an-l,2
an-l,3 . . . an
Gtl
an2
un3
. . .
GLn
bu
0
0
. . .
0
bzl
b22
0
. . .
0
kil
b32
b33 . . . 0
D=
bql ba
bd3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b-l,1 b-l,2 bn-1,s
. . . 0
b 7X1
b n2
b n3
. .'
b nn
1 @2 0 . . . 0
0 1 p3 . . . 0
0 0 1 . . . 0
G= 0 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . pn
0 0 0 . . . 1
Les bij et les /3j sont donnés par les expressions :
pq = Qq
b,-i,q-1
pour q=2,...,n,
bP, = aPq - B4 bP,,-1
pour p = 1,. . ,n,
lesquelles viennent remplacer les valeurs correspondantes dans le tableau des aij.
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