MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On décompose B1 en un produit de deux matrices triangulaires Dz et Ga telles que :
B2 = DzG2,
puis on calcule le produit de G2 et Dz que l’on appelle B2, on poursuit ce type de décomposition
et l’on obtient en définitive les résultats suivants :
BO = A = DIG1
B1 = GID1 = DzG2
B2 = G2D2 = DzGz
. . . . . . . . . . . . . . . . .
B, =
GnD, =
Dn+lGn+~
Lorsque la décomposition triangulaire est possible, on montre que la matrice B, a les mêmes
valeurs propres que la matrice A.
En général, B, tend vers une matrice triangulaire et les valeurs propres se situent alors sur
la diagonale. De plus si celles-ci sont réelles et distinctes, elles apparaissent dans l’ordre des
modules décroissants en descendant le long de la diagonale principale.
On trouvera sur le Web (*) le programme rutishau. c qui calcule les valeurs propres selon la
méthode de Rutishauser.
Sans entrer dans les détails liés aux valeurs propres multiples, aux valeurs propres complexes,
etc., il est utile de mentionner que cette méthode, dans sa version accélérée, sert de fondement
à l’établissement de la méthode de Givens.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme rut ishac . c qui calcule les valeurs propres selon la
méthode accélérée de Rutishauser
4.3. Méthode de Givens (1912- )
La méthode de Givens consiste à réduire la matrice A en une forme quasi triangulaire au moyen
d’une suite de transformations unitaires, puis d’appliquer une des méthodes de Rutishauser à
convergence quadratique. Nous allons exposer la suite de ces opérations.
Désignons par A la matrice dont on cherche les valeurs propres et par aij ses éléments. Pour
réaliser la transformation unitaire notée U, (V)*U = 1, on pose :
P’
aP-l,q
aP-l,P
r=&p
s=&F’
l’astérisque désignant la valeur conjuguée et UT la transposée de U.
Les colonnes p et 4 sont transformées selon les expressions :
bp-l,p = a,-r,,dG
b,-r,, = 0
bkp = r akp + s* akq
bkq = -Sakp + rakq
avec lc = p, . . ,72.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
82
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On décompose B1 en un produit de deux matrices triangulaires Dz et Ga telles que :
B2 = DzG2,
puis on calcule le produit de G2 et Dz que l’on appelle B2, on poursuit ce type de décomposition
et l’on obtient en définitive les résultats suivants :
BO = A = DIG1
B1 = GID1 = DzG2
B2 = G2D2 = DzGz
. . . . . . . . . . . . . . . . .
B, =
GnD, =
Dn+lGn+~
Lorsque la décomposition triangulaire est possible, on montre que la matrice B, a les mêmes
valeurs propres que la matrice A.
En général, B, tend vers une matrice triangulaire et les valeurs propres se situent alors sur
la diagonale. De plus si celles-ci sont réelles et distinctes, elles apparaissent dans l’ordre des
modules décroissants en descendant le long de la diagonale principale.
On trouvera sur le Web (*) le programme rutishau. c qui calcule les valeurs propres selon la
méthode de Rutishauser.
Sans entrer dans les détails liés aux valeurs propres multiples, aux valeurs propres complexes,
etc., il est utile de mentionner que cette méthode, dans sa version accélérée, sert de fondement
à l’établissement de la méthode de Givens.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme rut ishac . c qui calcule les valeurs propres selon la
méthode accélérée de Rutishauser
4.3. Méthode de Givens (1912- )
La méthode de Givens consiste à réduire la matrice A en une forme quasi triangulaire au moyen
d’une suite de transformations unitaires, puis d’appliquer une des méthodes de Rutishauser à
convergence quadratique. Nous allons exposer la suite de ces opérations.
Désignons par A la matrice dont on cherche les valeurs propres et par aij ses éléments. Pour
réaliser la transformation unitaire notée U, (V)*U = 1, on pose :
P’
aP-l,q
aP-l,P
r=&p
s=&F’
l’astérisque désignant la valeur conjuguée et UT la transposée de U.
Les colonnes p et 4 sont transformées selon les expressions :
bp-l,p = a,-r,,dG
b,-r,, = 0
bkp = r akp + s* akq
bkq = -Sakp + rakq
avec lc = p, . . ,72.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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