5. ÉLÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
Il reste à identifier les coefficients des termes de même degré en ~ç, ce qui nous fournit les
relations de Newton :
aosl + a1 = 0
aoS + ulS1+ 2a2 = 0
QS3 + UlS2 + apsl + 3a3 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . .
QS4 + ulS4-l + . . + a,-lS1 + qu3 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . .
u()sn + Ul!Y1 +.~~+u,-lS1+nu,=O
pour p > n, nous obtenons :
uosp + Ulfrl f.. ’ + un-lSP+l-n + &sp-n = 0.
Le problème qu’il reste à résoudre consiste à calculer effectivement les valeurs S4 qui, ici, seront
les sommes des valeurs propres à la puissance q, pour q = 1,2,. . , n. Revenons à l’équation aux
valeurs propres :
AX=XX
et multiplions successivement (n - 1) fois à gauche les deux membres de cette équation par A :
A2X = AXX = XAX = X2X
et ainsi de suite, on obtient d’une façon générale :
A4X = X4X avec q = 1,2,3,. . . , n..
Nous savons que la trace de la matrice A est égale à la somme de ses valeurs propres; de
même, la trace de la matrice A’J est égale à la somme des valeurs propres de A élevées à la
puissance q. Par conséquent, la trace de la matrice A4 est égale à Sq. (On rappelle que la trace
d’une matrice est la somme de ses éléments sur la diagonale principale.) Il suffit de calculer la
trace de A puis de multiplier A par A soit B = AA et de calculer la trace de B. Ensuite, on
multipliera B par A puis on calculera la trace de B, et ainsi de suite jusqu’à obtenir la valeur
de S”.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme leverier . c qui calcule les valeurs propres (réelles
ou complexes) de matrices réelles par la méthode de Le Verrier.
4.2. Méthode de Rutishauser (1918-1970)
Nous décomposons la matrice A dont on cherche les valeurs propres en un produit de deux
matrices triangulaires l’une, Dr, triangulaire inférieure et l’autre, Gi, triangulaire supérieure
telles que A = DlG1.
On calcule la matrice Bi qui est le produit de Gi et Dr dans l’ordre, soit :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
81
Il reste à identifier les coefficients des termes de même degré en ~ç, ce qui nous fournit les
relations de Newton :
aosl + a1 = 0
aoS + ulS1+ 2a2 = 0
QS3 + UlS2 + apsl + 3a3 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . .
QS4 + ulS4-l + . . + a,-lS1 + qu3 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . .
u()sn + Ul!Y1 +.~~+u,-lS1+nu,=O
pour p > n, nous obtenons :
uosp + Ulfrl f.. ’ + un-lSP+l-n + &sp-n = 0.
Le problème qu’il reste à résoudre consiste à calculer effectivement les valeurs S4 qui, ici, seront
les sommes des valeurs propres à la puissance q, pour q = 1,2,. . , n. Revenons à l’équation aux
valeurs propres :
AX=XX
et multiplions successivement (n - 1) fois à gauche les deux membres de cette équation par A :
A2X = AXX = XAX = X2X
et ainsi de suite, on obtient d’une façon générale :
A4X = X4X avec q = 1,2,3,. . . , n..
Nous savons que la trace de la matrice A est égale à la somme de ses valeurs propres; de
même, la trace de la matrice A’J est égale à la somme des valeurs propres de A élevées à la
puissance q. Par conséquent, la trace de la matrice A4 est égale à Sq. (On rappelle que la trace
d’une matrice est la somme de ses éléments sur la diagonale principale.) Il suffit de calculer la
trace de A puis de multiplier A par A soit B = AA et de calculer la trace de B. Ensuite, on
multipliera B par A puis on calculera la trace de B, et ainsi de suite jusqu’à obtenir la valeur
de S”.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme leverier . c qui calcule les valeurs propres (réelles
ou complexes) de matrices réelles par la méthode de Le Verrier.
4.2. Méthode de Rutishauser (1918-1970)
Nous décomposons la matrice A dont on cherche les valeurs propres en un produit de deux
matrices triangulaires l’une, Dr, triangulaire inférieure et l’autre, Gi, triangulaire supérieure
telles que A = DlG1.
On calcule la matrice Bi qui est le produit de Gi et Dr dans l’ordre, soit :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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