MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Relations de Newton - Soit P,(x) un polynôme de degré n que nous écrivons :
P,(x) = aox” + Ula: n-l + u2xnh2 + . . + a,, avec a # 0.
Désignons par pi les racines réelles ou complexes de ce polynôme qui se met alors sous la forme :
P,(x) = ao fi(x - pi).
i=l
À présent, nous allons dériver (par rapport à CC) de deux façons différentes F’,(X) et identifier
les résultats obtenus. Nous obtenons :
expression dans laquelle nous développons & soit :
L =; (1, (!?) + (g2+ (ei)3+...+ (!3)~+...)
x - pi
d’où nous déduisons :
g&=:( z
n+fy)+fy)2+C(~)3+...+gyy+...
i=l
i=l
i=l
i=l
)
comme :
c
pi = somme des racines,
i=l
2
p: = somme des carrés des racines,
i=l
on peut donc poser :
n
Sq=Cpr avec q=0,1,2,...(enremarquantque
So=n).
i=l
Nous obtenons alors :
g$=i( 2
so+g+;+?+...+?J+... >
Par ailleurs la dérivation directe nous donne :
PA-1(X) = ugnxnel + Ul(n - l)xne2 + u2xnp2 + . . + a,-,
ce qui permet d’écrire l’identité :
uonx n-l + ul(n - 1)~“~~ + CZ~X+~ +. . + a,-1
= (ugxn + UlX n-1 + u2xn-2 + . . .+un);(so+$+;+;+...+g+...,.
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