5. É LÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
Après avoir calculé les dkk, on calcule ligne à ligne à partir de la dernière, et dans chaque
ligne les éléments colonne par colonne à partir de la dernière colonne.
On procède d’une façon tout à fait identique pour la matrice G dont la matrice inverse est l?.
Nous écrivons :
rG=I
qui fournit les équations :
ykkgkk = 1
et, pour 1 < k
Ylk = -
Yllglk + Yl,l+lgl+l,k
+ %,1+2g1+2,k + ” ’
gkk
soit encore :
?‘lk = -(?‘llglk + %,l+l~l+l,k
+ %,1+2&+2,k + ‘. ’ )?“kk.
Après avoir calculé les Ykk, on calcule ligne à ligne à partir de la première, et dans chaque
ligne les éléments colonne par colonne à partir de la première colonne.
Sur le Web (*), on trouvera le programme trianinv . c qui inverse une matrice carrée au moyen
de cette procédure.
Remarque : Quelle que soit la méthode utilisée, il est prudent d’effectuer toujours les vérifications usuelles. Il sera bien venu de procéder ou bien à la multiplication de A et de A-’ qui doit
redonner - aux erreurs près - la matrice unité, ou bien à l’inversion de la matrice inverse qui
doit fournir la matrice de départ ~ toujours aux erreurs près.
4. Calcul des valeurs propres
Il s’agit de calculer les valeurs propres de matrices carrées d’ordre n à coefficients réels ;
cependant, les méthodes proposées peuvent s’appliquer aux matrices à éléments complexes.
Nous allons examiner diverses méthodes qui donnent des résultats plus ou moins intéressants
selon la taille de la matrice A ou son conditionnement. Le problème est donc la résolution de
l’équation caractéristique ou séculaire :
AX=XX
où X s’appelle vecteur propre et X valeur propre.
4.1. La méthode de Le Verrier (1811-1877)
L’équation caractéristique d’une matrice d’ordre n est un polynôme de degré n, et les racines de
ce polynôme sont les valeurs propres de la matrice. Si nous pouvons obtenir les coefficients du
polynôme caractéristique, la méthode de Bairstow nous permettra d’en calculer les racines. La
solution repose sur les relations de Newton qui établissent une expression entre les coefficients
d’un polynôme et les SQ (somme des racines du polynôme élevées à la puissance 4).
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
79
Après avoir calculé les dkk, on calcule ligne à ligne à partir de la dernière, et dans chaque
ligne les éléments colonne par colonne à partir de la dernière colonne.
On procède d’une façon tout à fait identique pour la matrice G dont la matrice inverse est l?.
Nous écrivons :
rG=I
qui fournit les équations :
ykkgkk = 1
et, pour 1 < k
Ylk = -
Yllglk + Yl,l+lgl+l,k
+ %,1+2g1+2,k + ” ’
gkk
soit encore :
?‘lk = -(?‘llglk + %,l+l~l+l,k
+ %,1+2&+2,k + ‘. ’ )?“kk.
Après avoir calculé les Ykk, on calcule ligne à ligne à partir de la première, et dans chaque
ligne les éléments colonne par colonne à partir de la première colonne.
Sur le Web (*), on trouvera le programme trianinv . c qui inverse une matrice carrée au moyen
de cette procédure.
Remarque : Quelle que soit la méthode utilisée, il est prudent d’effectuer toujours les vérifications usuelles. Il sera bien venu de procéder ou bien à la multiplication de A et de A-’ qui doit
redonner - aux erreurs près - la matrice unité, ou bien à l’inversion de la matrice inverse qui
doit fournir la matrice de départ ~ toujours aux erreurs près.
4. Calcul des valeurs propres
Il s’agit de calculer les valeurs propres de matrices carrées d’ordre n à coefficients réels ;
cependant, les méthodes proposées peuvent s’appliquer aux matrices à éléments complexes.
Nous allons examiner diverses méthodes qui donnent des résultats plus ou moins intéressants
selon la taille de la matrice A ou son conditionnement. Le problème est donc la résolution de
l’équation caractéristique ou séculaire :
AX=XX
où X s’appelle vecteur propre et X valeur propre.
4.1. La méthode de Le Verrier (1811-1877)
L’équation caractéristique d’une matrice d’ordre n est un polynôme de degré n, et les racines de
ce polynôme sont les valeurs propres de la matrice. Si nous pouvons obtenir les coefficients du
polynôme caractéristique, la méthode de Bairstow nous permettra d’en calculer les racines. La
solution repose sur les relations de Newton qui établissent une expression entre les coefficients
d’un polynôme et les SQ (somme des racines du polynôme élevées à la puissance 4).
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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