MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
3. Inversion d’une matrice carrée d’ordre n
3.1. Méthode des pivots
Soit une matrice carrée A d’ordre n que l’on suppose inversible. Le problème consiste à
déterminer la matrice A-’ telle que :
AA-l = A-lA = I
expression dans laquelle 1 est la matrice unité d’ordre n.
Dans un premier temps, portons notre attention sur le système linéaire suivant :
AX=E,
où Ei est le vecteur colonne unité qui possède la valeur zéro partout sauf sur la ligne i où la
valeur est un. Nous pouvons écrire :
X = A-lEi = Ai1
autrement dit, la résolution de ce système linéaire fournit la ie colonne de la matrice inverse
A-l.
Nous savons résoudre ces n systèmes linéaires, mais il est plus habile de les résoudre
simultanément car, sinon, nous effectuerions inutilement n fois la transformation de la matrice.
Au lieu d’accoler à la matrice A le vecteur second membre, il suffit de lui accoler la matrice unité
(les n vecteurs unité), puis de procéder à la même transformation que celle qui a été proposée
pour résoudre un système linéaire, à la différence près que l’on traitera n seconds membres au
lieu d’un seul.
Sur le Web (*), ‘1 1 es proposé le programme matinv . c qui inverse une matrice carrée.
t
3.2. Méthode par triangularisation
L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure, et I’inverse d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure. Commençons
par traiter la matrice D dont la matrice inverse est A. Nous avons :
AD=I
qui fournit les équations :
dkkdkk = 1
et, pour 1 > k
611, = - hk+ldz+l,k + &,k+dz+z,lc + . . + &ldlk
dkk
soit encore :
h = -(hk+lh+l,k + h,k+2d~+&k +. . + &dlk)bkk.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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