5. ÉLÉMENTS DE CALCUL M.~TRICIEL
On donne sur le Web (*) 1 e programme hilbert . c qui fournit les résultats de ces calculs.
2.7. A est une matrice creuse
On considère à présent un système linéaire AX = D dont la matrice A d’ordre N est constituée
de trois bandes tridiagonales de sous-matrices carrées d’ordre n et notées Ak, Bk et Ck comme
le montre la figure ci-dessous :
Bl CI
Xl
A2
B2
C2
x2
A3
B3
G
x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cm-,
x,-I
A,
Bm
-Gl
Dl
02
03
. . . . . .
Dm-1
D,
le vecteur inconnu X et le vecteur second membre D étant partitionnés en sous-vecteurs de
n composantes. On dit que la matrice A est creuse. Comme l’inverse d’une matrice creuse est
une matrice pleine, on va mettre en œuvre une méthode spécifique qui n’est rien d’autre que
la généralisation de la méthode exposée lors de l’étude des fonctions-spline (cf. chapitre 6). Au
moyen d’opérations linéaires, le but est de faire disparaître les matrices Ak et de remplacer les
matrices Bk par la matrice unitéd’ordre n notée 4 : cm obtient alors la disposition suivante :
Il
Wl
12
w2
13
w3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WTT-1
I m
On obtient aisément les expressions suivantes :
W, = BilC1
W, = [Bz - AzW,]-’ C,
. . . . . . . . . . . .
GI
G2
G3
ii,L'I
G,
W, = [Bh - AkW,_,]-‘C,
pour k = 2,3,. . . m - 1,
GI = BFID1
Ga = [B2 - A2W,]-’ [Dz - A2G1]
. . . . . . . . . . . .
Gk- = [B,+ - AkWk-J1 [Dk - AkGkel]
. . . . . . . . . . . .
G, = [B, - A,W,J1 [D, - A,G,-l].
On calcule alors facilement X, =G,, puis en remontant on calcule par récurrence :
Xk=Gk-WkXk+l pour k=m-l,m-2,...1.