M ANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
soit encore :
À présent, on sait calculer a0 ; on peut donc reporter sa valeur dans les équations de départ
et faire disparaître la première ligne qui devient inutile puisque nous connaissons effectivement
as. Le calcul de ai, ~2,. . . , a, se ramène à la résolution du système linéaire d’ordre n suivant :
n-1
‘1 cr; . . . Qi
a1
Pl - ao
n-1
1 a; . . a2
. . . .
a2
1 P2 - ao
c
avec C = fiai.
i=l
1 cr; . . . a(;-1 a,
Bn - ao
L’opération qui consiste à calculer une valeur u3 (d’abord us) puis à éliminer une ligne s’appelle
déflation. À présent, nous sommes en mesure de calculer ai par le même procédé, toutefois,
l’ordre de la matrice a baissé d’une unité, us ayant disparu. En poursuivant les opérations, on
calcule de proche en proche toutes les valeurs ak.
Cas CJÙ un des ai est nul - L’algorithme semble tomber en défaut si l’un des (hi est nul. Il
n’en est rien. En effet, si la valeur crj est nulle, c’est la seule par hypothèse, donc on peut
permuter la ligne j avec la ligne zéro sans que rien ne soit changé. Dans ces conditions, on
connaît immédiatement la valeur as = ,& puisque la première ligne de la matrice ne contient
que des zéros à l’exception du premier élément qui vaut un. Après déflation, nous revenons au
problème précédemment traité.
Nous donnons sur le Web (*) 1 e programme vdmonde . c qui réalise ces opérations. Remarquons
que ce programme utilise très peu de place mémoire : seuls les vecteurs y sont utilisés.
2.6. A est une matrice de Hilbert (1862-1943)
Une matrice de Hilbert A d’ordre n est une matrice symétrique dont les éléments &k sont donnés
par l’expression suivante :
1
uzk= l+k+1
avec 1, k = 0, 1,2,. . , n - 1.
C’est une matrice bien connue pour son mauvais conditionnement. Pour s’en convaincre, il
suffit de choisir le vecteur inconnu X et de calculer le second membre B. Prenons pour composantes du vecteur X d’ordre n les entiers successifs de 1 à n, soit 20 = 1, ~1 = 2,. . . ,~,-r = n.
Le produit AX donne le second membre B. À partir de A et de B proposons-nous de déterminer
X pour n = 5,10,15 et 20. Rapidement les résultats deviennent aberrants. C’est la raison pour
laquelle on dit que la matrice A est mal conditionnée. Il est facile de calculer chaque fois le
déterminant de la matrice A qui tend rapidement vers zéro avec l’ordre n. Pour n = 15, on
trouve un déterminant de l’ordre de 10V78... on comprend ainsi où se situent les pertes de
signification.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
soit encore :
À présent, on sait calculer a0 ; on peut donc reporter sa valeur dans les équations de départ
et faire disparaître la première ligne qui devient inutile puisque nous connaissons effectivement
as. Le calcul de ai, ~2,. . . , a, se ramène à la résolution du système linéaire d’ordre n suivant :
n-1
‘1 cr; . . . Qi
a1
Pl - ao
n-1
1 a; . . a2
. . . .
a2
1 P2 - ao
c
avec C = fiai.
i=l
1 cr; . . . a(;-1 a,
Bn - ao
L’opération qui consiste à calculer une valeur u3 (d’abord us) puis à éliminer une ligne s’appelle
déflation. À présent, nous sommes en mesure de calculer ai par le même procédé, toutefois,
l’ordre de la matrice a baissé d’une unité, us ayant disparu. En poursuivant les opérations, on
calcule de proche en proche toutes les valeurs ak.
Cas CJÙ un des ai est nul - L’algorithme semble tomber en défaut si l’un des (hi est nul. Il
n’en est rien. En effet, si la valeur crj est nulle, c’est la seule par hypothèse, donc on peut
permuter la ligne j avec la ligne zéro sans que rien ne soit changé. Dans ces conditions, on
connaît immédiatement la valeur as = ,& puisque la première ligne de la matrice ne contient
que des zéros à l’exception du premier élément qui vaut un. Après déflation, nous revenons au
problème précédemment traité.
Nous donnons sur le Web (*) 1 e programme vdmonde . c qui réalise ces opérations. Remarquons
que ce programme utilise très peu de place mémoire : seuls les vecteurs y sont utilisés.
2.6. A est une matrice de Hilbert (1862-1943)
Une matrice de Hilbert A d’ordre n est une matrice symétrique dont les éléments &k sont donnés
par l’expression suivante :
1
uzk= l+k+1
avec 1, k = 0, 1,2,. . , n - 1.
C’est une matrice bien connue pour son mauvais conditionnement. Pour s’en convaincre, il
suffit de choisir le vecteur inconnu X et de calculer le second membre B. Prenons pour composantes du vecteur X d’ordre n les entiers successifs de 1 à n, soit 20 = 1, ~1 = 2,. . . ,~,-r = n.
Le produit AX donne le second membre B. À partir de A et de B proposons-nous de déterminer
X pour n = 5,10,15 et 20. Rapidement les résultats deviennent aberrants. C’est la raison pour
laquelle on dit que la matrice A est mal conditionnée. Il est facile de calculer chaque fois le
déterminant de la matrice A qui tend rapidement vers zéro avec l’ordre n. Pour n = 15, on
trouve un déterminant de l’ordre de 10V78... on comprend ainsi où se situent les pertes de
signification.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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