MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
4.5. La méthode de Krylov (1879-1955)
Elle repose sur le théorème de Cayley-Hamilton (toute matrice A d’ordre n est solution de son
équation caractcristique), soit :
les ak étant les coefficients du polynôme caractéristique. On multiplie les deux membres de cette
expression par un vecteur arbitraire d’ordre n que l’on appelle X, on obtient :
~a,ArL-q X = -A”X.
q=l
On commence par calculer & = X, Br = ABo, . . , Bk+l = ABk, . . , et enfin B,, = ABnpl.
Les vecteurs Bk sont les colonnes de la matrice du système linéaire à résoudre pour obtenir les
coefficients ak du polynôme caractéristique. Les dispositions du calcul sont les suivantes :
L-1
bln-2
br-:3
.'.
bll
bl0
a1
b
h- 1 h-2 b-3 . . . bzl bo . ~2 = ~ 0::
b,,,-l. . .bnni,' . b,,-, . . ,. . . ,. .b,l. 'b,O
a,
b
nn
Le vecteur X est arbitraire, et on le choisit très souvent avec toutes ses composantes égales à
l’unité. Reste à déterminer aa = (-1)“.
Cette méthode n’exigeant que peu de calculs est fort attrayante, malheureusement elle conduit
à un système mal conditionné lorsque n atteint et dépasse quelques unités de l’ordre de 8 a 10.
On donne sur le Web (*) 1 e programme krylov. c qui réalise cet algorithme.
4.6. Cas des matrices symétriques
Les matrices symétriques sont hermitiennes et par conséquent ne possèdent que des valeurs
propres réelles. Quand on calcule les zéros d’un polynôme caractéristique dont les coefficients
sont mal conditionnés on court le risque de voir apparaître presque sûrement des racines
complexes dont on se passerait bien. La méthode de Givens-Rutishauser permet de contourner
cette difficulté. On trouvera dans les exercices un problème mettant en œuvre la méthode de
Jacobi adaptee au cas des matrices symétriques et qui donne de trcs bons résultats, on fournit
également le programme (cf. annexe H, problème 5.8).
4.7. Retour sur les matrices de Hilbert
Les valeurs propres des matrices de Hilbert sont réelles puisque la matrice est symétrique,
cependant, leur calcul est une source de difficultés puisque le déterminant de la matrice d’ordre
n tend vers zéro quand n tend vers l’infini. En effet, le produit des valeurs propres est égal au
déterminant de la matrice. Par ailleurs, la somme des valeurs propres est égale à la trace de la
matrice. Toutes les conditions sont réunies pour avoir des valeurs propres très grandes et à coup
sûr d’autres très petites.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
4.5. La méthode de Krylov (1879-1955)
Elle repose sur le théorème de Cayley-Hamilton (toute matrice A d’ordre n est solution de son
équation caractcristique), soit :
les ak étant les coefficients du polynôme caractéristique. On multiplie les deux membres de cette
expression par un vecteur arbitraire d’ordre n que l’on appelle X, on obtient :
~a,ArL-q X = -A”X.
q=l
On commence par calculer & = X, Br = ABo, . . , Bk+l = ABk, . . , et enfin B,, = ABnpl.
Les vecteurs Bk sont les colonnes de la matrice du système linéaire à résoudre pour obtenir les
coefficients ak du polynôme caractéristique. Les dispositions du calcul sont les suivantes :
L-1
bln-2
br-:3
.'.
bll
bl0
a1
b
h- 1 h-2 b-3 . . . bzl bo . ~2 = ~ 0::
b,,,-l. . .bnni,' . b,,-, . . ,. . . ,. .b,l. 'b,O
a,
b
nn
Le vecteur X est arbitraire, et on le choisit très souvent avec toutes ses composantes égales à
l’unité. Reste à déterminer aa = (-1)“.
Cette méthode n’exigeant que peu de calculs est fort attrayante, malheureusement elle conduit
à un système mal conditionné lorsque n atteint et dépasse quelques unités de l’ordre de 8 a 10.
On donne sur le Web (*) 1 e programme krylov. c qui réalise cet algorithme.
4.6. Cas des matrices symétriques
Les matrices symétriques sont hermitiennes et par conséquent ne possèdent que des valeurs
propres réelles. Quand on calcule les zéros d’un polynôme caractéristique dont les coefficients
sont mal conditionnés on court le risque de voir apparaître presque sûrement des racines
complexes dont on se passerait bien. La méthode de Givens-Rutishauser permet de contourner
cette difficulté. On trouvera dans les exercices un problème mettant en œuvre la méthode de
Jacobi adaptee au cas des matrices symétriques et qui donne de trcs bons résultats, on fournit
également le programme (cf. annexe H, problème 5.8).
4.7. Retour sur les matrices de Hilbert
Les valeurs propres des matrices de Hilbert sont réelles puisque la matrice est symétrique,
cependant, leur calcul est une source de difficultés puisque le déterminant de la matrice d’ordre
n tend vers zéro quand n tend vers l’infini. En effet, le produit des valeurs propres est égal au
déterminant de la matrice. Par ailleurs, la somme des valeurs propres est égale à la trace de la
matrice. Toutes les conditions sont réunies pour avoir des valeurs propres très grandes et à coup
sûr d’autres très petites.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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