MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2.4. Calcul d’un déterminant
Après la présentation des algorithmes de résolution de systèmes linéaires, il résulte que le
déterminant A d’une matrice carrée W est égal au produit des pivots multiplié par (-l)P,
p étant le nombre de permutations de lignes effectuées au cours du calcul. Il est aussi égal au
produit des éléments de la diagonale principale de la matrice triangulaire G.
Remarque à propos de la méthode des pivots - On rencontre souvent l’idée selon laquelle
la méthode des pivots peut être améliorée si, à chaque fois que l’on traite une ligne, on amène
celle qui possède le plus grand pivot en valeur absolue.
Cette façon de voir est complètement erronée pour la raison qui suit. Le calcul propage
les erreurs cumulées sur chacun des pivots obtenus avec une ultime soustraction (susceptible
de fournir une redoutable erreur relative). Le produit des pivots T T étant constant et égal au
déterminant A, le fait d’utiliser les grands pivots au début du calcul impose les petits pivots
à la fin... Donc le déterminant, le système linéaire etc. verront croître les erreurs au fur et à
mesure que se déroule le calcul, et cela d’une manière plus rapide que la simple proportionnalité
au nombre des opérations arithmétiques réalisées.
l Que faut-il faire alors ? - Comme nous avons : A = nn=, pk, l’erreur relative sA sur A
est donnée par l’expression :
car les erreurs absolues dpi sont grosso modo les mêmes. On peut encore écrire :
Le membre de gauche sera majoré par la somme des modules des pivots (à une constante
multiplicative près). C’est lorsque les pivots sont égaux en module que la somme des modules
est minimum puisque le produit des pivots doit être constant.
En conséquence, la seule méthode raisonnable consiste à choisir le pivot qui est toujours le plus
proche en module de m. Pour cela il faut obtenir une première valeur de A et procéder par
itérations jusqu’à ce que deux valeurs consécutives du déterminant soient égales à la précision
de la machine.
2.5. A est une matrice de Vandermonde (1735-1796)
Nous rencontrerons à nouveau ce type de problème à propos du polynôme d’interpolation de
Lagrange ; on cherche à calculer les coefficients du polynôme de degré n qui passe par les (n + 1)
points d’un échantillon (c-uj, &) avec j = 0,1,2,. . . ,n. La seule restriction consiste à supposer que
les abscisses ~j sont toutes différentes les unes des autres.
Le polynôme s’écrit sous la forme :
p,(x) = 2 a@‘.
k=O
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2.4. Calcul d’un déterminant
Après la présentation des algorithmes de résolution de systèmes linéaires, il résulte que le
déterminant A d’une matrice carrée W est égal au produit des pivots multiplié par (-l)P,
p étant le nombre de permutations de lignes effectuées au cours du calcul. Il est aussi égal au
produit des éléments de la diagonale principale de la matrice triangulaire G.
Remarque à propos de la méthode des pivots - On rencontre souvent l’idée selon laquelle
la méthode des pivots peut être améliorée si, à chaque fois que l’on traite une ligne, on amène
celle qui possède le plus grand pivot en valeur absolue.
Cette façon de voir est complètement erronée pour la raison qui suit. Le calcul propage
les erreurs cumulées sur chacun des pivots obtenus avec une ultime soustraction (susceptible
de fournir une redoutable erreur relative). Le produit des pivots T T étant constant et égal au
déterminant A, le fait d’utiliser les grands pivots au début du calcul impose les petits pivots
à la fin... Donc le déterminant, le système linéaire etc. verront croître les erreurs au fur et à
mesure que se déroule le calcul, et cela d’une manière plus rapide que la simple proportionnalité
au nombre des opérations arithmétiques réalisées.
l Que faut-il faire alors ? - Comme nous avons : A = nn=, pk, l’erreur relative sA sur A
est donnée par l’expression :
car les erreurs absolues dpi sont grosso modo les mêmes. On peut encore écrire :
Le membre de gauche sera majoré par la somme des modules des pivots (à une constante
multiplicative près). C’est lorsque les pivots sont égaux en module que la somme des modules
est minimum puisque le produit des pivots doit être constant.
En conséquence, la seule méthode raisonnable consiste à choisir le pivot qui est toujours le plus
proche en module de m. Pour cela il faut obtenir une première valeur de A et procéder par
itérations jusqu’à ce que deux valeurs consécutives du déterminant soient égales à la précision
de la machine.
2.5. A est une matrice de Vandermonde (1735-1796)
Nous rencontrerons à nouveau ce type de problème à propos du polynôme d’interpolation de
Lagrange ; on cherche à calculer les coefficients du polynôme de degré n qui passe par les (n + 1)
points d’un échantillon (c-uj, &) avec j = 0,1,2,. . . ,n. La seule restriction consiste à supposer que
les abscisses ~j sont toutes différentes les unes des autres.
Le polynôme s’écrit sous la forme :
p,(x) = 2 a@‘.
k=O
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