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5. ÉLÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
Par identification, on trouve :
1. la première ligne de G :
911 = a11
Q12 = a12
‘. .
Sln = a171
2. la deuxième ligne de D, soit l’élément &r qui s’obtient à partir de :
a21 = d21g11
3. la deuxième ligne de G s’obtient au moyen des relations :
a22 = &m2 + g22
a23 = dzlgl3 + m
4. la troisième ligne de D est donnée par :
. . .
mn = d21gln + an
a31 = &gll
a32 = &lm + &m2
5. la troisième ligne de G est obtenue au moyen de :
~33 = &lgl3 + dm23
. .
an = &lgln + &mn + an
6. On poursuit en calculant alternativement la ligne suivante de D puis la même ligne de G
jusqu’à la ligne 72.
On trouvera sur le Web(*) 1 e programme triangle. c qui réalise une telle décomposition.
2.3. Application à la résolution du système linéaire AX = B
Nous pouvons donc écrire :
AX=DGX=B
il est possible de poser 2 = GX, et donc d’obtenir aisément le vecteur 2 dont les composantes
sont données par le système d’équations DZ = B qui se décompose de la manière suivante :
~1 = dl &y1 + y2 = dz dayl + dxzyz + y3 = d3
. . .
d,lyl + d,zya + . . + yn = d,.
Cet ensemble d’équations permet de déterminer les composantes de 2. Connaissant 2, il est
aisé de calculer le vecteur X au moyen de l’équation Z = GX dont les composantes donnent :
Qn-ln%
+ gn-ln-lXn-1
= G-1
. . . . . . . . . . .
Qln% + Qln-lG-1 + . . . + 912x2 + Q12X2 + 911x1 = 21.
Donc à partir des récurrences ainsi définies nous sommes en mesure de résoudre un système
linéaire.
Remarque : Si la matrice est singulière, elle ne peut pas être décomposée en un produit de
deux matrices triangulaires.
On trouvera sur le Web (*) 1 e programme trianlin. c mettant en œuvre cet algorithme.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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