MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
élément de la colonne k est différent de zéro. Si tel est le cas, on échange les deux lignes, rien
n’est changé dans le tableau T et l’on poursuit les calculs. Si la permutation ne permet pas
d’amener un pivot non nul, c’est que la matrice est singulière. Si, à partir de la k” ligne on
ne peut plus permuter de lignes, la matrice est dégénérée d’ordre n - k. Seules k lignes ou k
colonnes sont linéairement indépendantes.
Remarque 1 : La prudence la plus élémentaire exige que l’on reporte la solution trouvée dans
les équations d’origine afin de déceler éventuellement un écart sensible avec le second membre.
Remarque 2 : Une matrice dégénérée possède une infinité de solutions. À bien y réfléchir, il
est peu probable qu’un calcul de pivot amène la valeur zéro, tout simplement parce que le jeu
du cumul des erreurs et des troncatures a peu de chances de réaliser un tel événement. Donc on
risque fortement à un moment donné de diviser une ligne par un pivot qui aurait dû être nul
sans qu’il le soit dans la réalité. Nous allons obtenir une solution parmi l’infinité de solutions
possibles dans un tel cas.
Comment prévenir une telle infortune? Il est nécessaire de détecter un tel dysfonctionnement,
et, on peut y parvenir en exécutant plusieurs fois les calculs sur des présentations différentes
du tableau obtenues en intervertissant les lignes. Ainsi on fera apparaître plusieurs solutions
différentes du même système linéaire et notre attention sera attirée par sa singularité.
Dans le cas où l’on ne rencontre pas un pivot nul, on peut évaluer de façon approchée le
nombre d’opérations : n3. Sur le Web(*), on trouvera le programme systlin. c qui réalise le
calcul selon la méthode des pivots.
2.2. Méthode de la décomposition de la matrice A en un produit
de deux matrices triangulaires
Nous nous proposons de décomposer la matrice A en un produit de deux matrices triangulaires
notées D et G où D est une matrice triangulaire inférieure et G une matrice triangulaire
supérieure telles que A = DG, puis d’appliquer cette technique de décomposition à la résolution
d’un système linéaire. Notons que ce type de décomposition sera encore employé pour inverser
les matrices et pour calculer les valeurs propres.
La matrice A étant d’ordre n il en sera de même des matrices D et G, et l’écriture de A = DG
conduit à écrire n2 équations à (n2+n) inconnues. Nous sommes donc libre de choisir n inconnues
à notre convenance : choisissons d’écrire les éléments de la diagonale principale de D égaux à
l’unité. Les deux matrices D et G s’écrivent :
10
0
.
..o
dz1
1
0
. . .
0
D
=
;;; ;;; 1
"'
0
d43 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 7Ll dn2 dn3 . . 1
G=
911 QI2 913
...
g1n
0
5722
Q23
. .
g2n
0
0
933
. . .
g3n
0
0
0
.'.
9472
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
. . .
gnn
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
élément de la colonne k est différent de zéro. Si tel est le cas, on échange les deux lignes, rien
n’est changé dans le tableau T et l’on poursuit les calculs. Si la permutation ne permet pas
d’amener un pivot non nul, c’est que la matrice est singulière. Si, à partir de la k” ligne on
ne peut plus permuter de lignes, la matrice est dégénérée d’ordre n - k. Seules k lignes ou k
colonnes sont linéairement indépendantes.
Remarque 1 : La prudence la plus élémentaire exige que l’on reporte la solution trouvée dans
les équations d’origine afin de déceler éventuellement un écart sensible avec le second membre.
Remarque 2 : Une matrice dégénérée possède une infinité de solutions. À bien y réfléchir, il
est peu probable qu’un calcul de pivot amène la valeur zéro, tout simplement parce que le jeu
du cumul des erreurs et des troncatures a peu de chances de réaliser un tel événement. Donc on
risque fortement à un moment donné de diviser une ligne par un pivot qui aurait dû être nul
sans qu’il le soit dans la réalité. Nous allons obtenir une solution parmi l’infinité de solutions
possibles dans un tel cas.
Comment prévenir une telle infortune? Il est nécessaire de détecter un tel dysfonctionnement,
et, on peut y parvenir en exécutant plusieurs fois les calculs sur des présentations différentes
du tableau obtenues en intervertissant les lignes. Ainsi on fera apparaître plusieurs solutions
différentes du même système linéaire et notre attention sera attirée par sa singularité.
Dans le cas où l’on ne rencontre pas un pivot nul, on peut évaluer de façon approchée le
nombre d’opérations : n3. Sur le Web(*), on trouvera le programme systlin. c qui réalise le
calcul selon la méthode des pivots.
2.2. Méthode de la décomposition de la matrice A en un produit
de deux matrices triangulaires
Nous nous proposons de décomposer la matrice A en un produit de deux matrices triangulaires
notées D et G où D est une matrice triangulaire inférieure et G une matrice triangulaire
supérieure telles que A = DG, puis d’appliquer cette technique de décomposition à la résolution
d’un système linéaire. Notons que ce type de décomposition sera encore employé pour inverser
les matrices et pour calculer les valeurs propres.
La matrice A étant d’ordre n il en sera de même des matrices D et G, et l’écriture de A = DG
conduit à écrire n2 équations à (n2+n) inconnues. Nous sommes donc libre de choisir n inconnues
à notre convenance : choisissons d’écrire les éléments de la diagonale principale de D égaux à
l’unité. Les deux matrices D et G s’écrivent :
10
0
.
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dz1
1
0
. . .
0
D
=
;;; ;;; 1
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