5. ÉLÉMENTS DE CALCUL MATRICIEL
Pour annuler les autres termes de la première colonne, il suffit d’opérer ainsi :
les éléments de la première ligne multipliés par ~21 sont retranchés des éléments correspondants
de la deuxième ligne. Ensuite, d’une façon tout à fait générale, les éléments de la première ligne
multipliés par ski sont soustraits des éléments correspondants de la k” ligne. Donc, pour k > 1 :
CL~& = ski - uklc&
et
b) = bk - uklb:.
Les éléments de la première colonne du tableau transformé équivalent sont nuls pour k > 1,
seul le premier élément vaut 1. Après cette première phase, le tableau s’écrit :
T(A,@ =
1 ui2 u& . . a;, b;
0 ui2 c& . . CL;, b;
0 c& & . . . ain b;
0 ui2 u&, . . . ain b;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 un2 CL;~ . . . a& b;
À présent, nous allons traiter le deuxième vecteur colonne de la matrice A. Nous divisons
toute la deuxième ligne par l’élément u&, à condition qu’il soit différent de zéro. Cette deuxième
ligne devient :
ensuite, les éléments de la deuxième ligne multipliés par uk2 sont soustraits des éléments
correspondants de la k” ligne, et cela pour k # 2. Ainsi on aura :
2
uki = uki - uk2u&
et
b2 = b1 - a1 b2
k
k
k2 2’
À présent la deuxième colonne du tableau a été transformée selon nos vœux.
Il n’y a pas de difficultés à poursuivre de la même façon les transformations de la troisième
ligne puis des lignes suivantes, et ainsi de suite jusqu’à la ne ligne. À la fin du calcul, nous
obtenons la configuration souhaitée :
1 0 0 . . . 0 bf
0 1 0 . . . 0 b;
T(I, b”) = 0 ; ; “’ 0 ; .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 b;
Les b: sont les solutions recherchées du système linéaire.
L’élément upk q ui se trouve sur la diagonale principale a vu sa valeur changer dynamiquement
au cours des calculs tant que m est inférieur à k. Quand m = k, on procède à la division de la
ligne k par cet élément qui porte le nom de pivot d’où le nom de la méthode.
Au cours des calculs, nous avons supposé que le pivot rencontré n’était jamais nul. Qu’arrivet-il si l’on rencontre un pivot nul? De deux choses l’une, ou bien la matrice n’est pas inversible
et son déterminant est nul, ou bien elle est inversible et son déterminant est différent de zéro.
Il nous est toujours possible de permuter la ligne k avec une des lignes qui suivent, donc
numérotées de k + 1 à n. Il n’y aura d’intérêt à réaliser cette permutation que si au moins un
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Pour annuler les autres termes de la première colonne, il suffit d’opérer ainsi :
les éléments de la première ligne multipliés par ~21 sont retranchés des éléments correspondants
de la deuxième ligne. Ensuite, d’une façon tout à fait générale, les éléments de la première ligne
multipliés par ski sont soustraits des éléments correspondants de la k” ligne. Donc, pour k > 1 :
CL~& = ski - uklc&
et
b) = bk - uklb:.
Les éléments de la première colonne du tableau transformé équivalent sont nuls pour k > 1,
seul le premier élément vaut 1. Après cette première phase, le tableau s’écrit :
T(A,@ =
1 ui2 u& . . a;, b;
0 ui2 c& . . CL;, b;
0 c& & . . . ain b;
0 ui2 u&, . . . ain b;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 un2 CL;~ . . . a& b;
À présent, nous allons traiter le deuxième vecteur colonne de la matrice A. Nous divisons
toute la deuxième ligne par l’élément u&, à condition qu’il soit différent de zéro. Cette deuxième
ligne devient :
ensuite, les éléments de la deuxième ligne multipliés par uk2 sont soustraits des éléments
correspondants de la k” ligne, et cela pour k # 2. Ainsi on aura :
2
uki = uki - uk2u&
et
b2 = b1 - a1 b2
k
k
k2 2’
À présent la deuxième colonne du tableau a été transformée selon nos vœux.
Il n’y a pas de difficultés à poursuivre de la même façon les transformations de la troisième
ligne puis des lignes suivantes, et ainsi de suite jusqu’à la ne ligne. À la fin du calcul, nous
obtenons la configuration souhaitée :
1 0 0 . . . 0 bf
0 1 0 . . . 0 b;
T(I, b”) = 0 ; ; “’ 0 ; .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 b;
Les b: sont les solutions recherchées du système linéaire.
L’élément upk q ui se trouve sur la diagonale principale a vu sa valeur changer dynamiquement
au cours des calculs tant que m est inférieur à k. Quand m = k, on procède à la division de la
ligne k par cet élément qui porte le nom de pivot d’où le nom de la méthode.
Au cours des calculs, nous avons supposé que le pivot rencontré n’était jamais nul. Qu’arrivet-il si l’on rencontre un pivot nul? De deux choses l’une, ou bien la matrice n’est pas inversible
et son déterminant est nul, ou bien elle est inversible et son déterminant est différent de zéro.
Il nous est toujours possible de permuter la ligne k avec une des lignes qui suivent, donc
numérotées de k + 1 à n. Il n’y aura d’intérêt à réaliser cette permutation que si au moins un
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