MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2. Résolution d’un système linéaire
On considère un système linéaire de n équations à n inconnues que l’on écrit sous une forme
matricielle :
AX=B.
Les coefficients de la matrice A (d’ordre n) sont notés selon l’habitude classique : ulk (dans
l’ordre ligne colonne). X (de composantes zj) est le vecteur des inconnues et B (de composantes
bj)le vecteur second membre. La notation du vecteur inconnu est sans intérêt dans la manière
dont on résout le problème et seules les grandeurs que nous allons manipuler sont les alk et
les bj.
2.1. Méthode des pivots
Nous allons traiter simultanément l’ensemble des données du problème et pour ce faire nous
formons un tableau T(A, B) en juxtaposant les éléments de la matrice A et les composantes du
vecteur B selon l’expression ci-dessous :
a11
a12
a13 . . ah h
a21
a22
a23 . . azn b
T(A, B) =
a31
a32
a33 . . mn b3
a41
a42
a43 . . adn b4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a,1
an2
an3 . ann
bn
On voit que le tableau T(A, B) représente une forme multilinéaire avec les propriétés
suivantes :
a. La permutation de deux lignes ne change rien au tableau.
b. La multiplication d’une ligne par un nombre ne change rien au tableau.
c. L’addition terme à terme de deux lignes ne change rien au tableau,
d. La combinaison linéaire de deux lignes du tableau ne change rien au tableau.
Quand le système linéaire est soluble et résolu, le tableau T(A, B) se présente sous la forme :
1 0 0 . .
0 1 0 . .
0 &
0 s2
T(I, S)
0 0 1 . . . 0 s3
=
0
0
0
.
0
s4
. . . . . .
OY 0 . .
. . . . . . . .
1. s,
où 1 est la matrice unité d’ordre n et S le vecteur solution.
Comme T(A, B) = T(I, S), nous allons voir comment passer du tableau T(A, B) au tableau
T(I, S) par les opérations linéaires décrites en a, b, c et d au moyen de la méthode des pivots.
Nous allons transformer le tableau T(A, B) de telle sorte que nous obtenions le vecteur colonne
(l,O, 0,. . . , 0). Pour y parvenir il faut d’abord diviser la première ligne du tableau par l’élément
a11 que l’on suppose différent de zéro. La première ligne s’écrit alors :
1
a:2
1
ch13
. .
1
ah
b;.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
2. Résolution d’un système linéaire
On considère un système linéaire de n équations à n inconnues que l’on écrit sous une forme
matricielle :
AX=B.
Les coefficients de la matrice A (d’ordre n) sont notés selon l’habitude classique : ulk (dans
l’ordre ligne colonne). X (de composantes zj) est le vecteur des inconnues et B (de composantes
bj)le vecteur second membre. La notation du vecteur inconnu est sans intérêt dans la manière
dont on résout le problème et seules les grandeurs que nous allons manipuler sont les alk et
les bj.
2.1. Méthode des pivots
Nous allons traiter simultanément l’ensemble des données du problème et pour ce faire nous
formons un tableau T(A, B) en juxtaposant les éléments de la matrice A et les composantes du
vecteur B selon l’expression ci-dessous :
a11
a12
a13 . . ah h
a21
a22
a23 . . azn b
T(A, B) =
a31
a32
a33 . . mn b3
a41
a42
a43 . . adn b4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a,1
an2
an3 . ann
bn
On voit que le tableau T(A, B) représente une forme multilinéaire avec les propriétés
suivantes :
a. La permutation de deux lignes ne change rien au tableau.
b. La multiplication d’une ligne par un nombre ne change rien au tableau.
c. L’addition terme à terme de deux lignes ne change rien au tableau,
d. La combinaison linéaire de deux lignes du tableau ne change rien au tableau.
Quand le système linéaire est soluble et résolu, le tableau T(A, B) se présente sous la forme :
1 0 0 . .
0 1 0 . .
0 &
0 s2
T(I, S)
0 0 1 . . . 0 s3
=
0
0
0
.
0
s4
. . . . . .
OY 0 . .
. . . . . . . .
1. s,
où 1 est la matrice unité d’ordre n et S le vecteur solution.
Comme T(A, B) = T(I, S), nous allons voir comment passer du tableau T(A, B) au tableau
T(I, S) par les opérations linéaires décrites en a, b, c et d au moyen de la méthode des pivots.
Nous allons transformer le tableau T(A, B) de telle sorte que nous obtenions le vecteur colonne
(l,O, 0,. . . , 0). Pour y parvenir il faut d’abord diviser la première ligne du tableau par l’élément
a11 que l’on suppose différent de zéro. La première ligne s’écrit alors :
1
a:2
1
ch13
. .
1
ah
b;.
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