Ce chapitre est constitué de deux rubriques consacrées l’une à la résolution de systèmes linéaires,
l’autre au calcul des valeurs propres des matrices carrées. Nous allons voir comment résoudre ce
premier problème selon deux méthodes générales, puis nous examinerons une solution propre aux
< < matrices » de Vandermonde rencontrée en interpolation. La résolution d’un système linéaire
nous conduira directement au calcul d’un déterminant et à l’inversion des matrices (carrées).
Pour terminer, nous aborderons quelques méthodes de calcul des valeurs propres des matrices.
Auparavant, nous traiterons des opérations élémentaires sur les matrices.
Si l’on se réfère au calcul d’un déterminant d’ordre n selon la méthode de Cramer (1704-1752),
on voit que ce procédé exige environ n! opérations ce qui devient rapidement irréalisable du point
de vue pratique. Il nous faut utiliser des méthodes beaucoup plus économiques et celles que nous
présentons utilisent grossièrement n3 voire n4 opérations. Du reste le dénombrement exact est
facile à obtenir en modifiant très légèrement les programmes proposés : il suffit d’ajouter un
compteur d’opérations.
Tout au long de ce chapitre, on note par des lettres majuscules les matrices et les vecteurs, et
par des lettres minuscules (généralement indicées) les éléments des matrices et les composantes
des vecteurs.
1. Multiplication de deux matrices
Soient deux matrices A(n, m) et B(m, Z) expressions dans lesquelles le premier terme de la
parenthèse représente le nombre de lignes et le second le nombre de colonnes. C(n, 1) le produit
des matrices A et B s’écrit :
avec
cjk = CLjibik.
i=l
Le nombre d’opérations est environ 2m x n x Z. On trouvera le sous-programme multma. h
calculant le produit de deux matrices sur le Web (*).
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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l’autre au calcul des valeurs propres des matrices carrées. Nous allons voir comment résoudre ce
premier problème selon deux méthodes générales, puis nous examinerons une solution propre aux
< < matrices » de Vandermonde rencontrée en interpolation. La résolution d’un système linéaire
nous conduira directement au calcul d’un déterminant et à l’inversion des matrices (carrées).
Pour terminer, nous aborderons quelques méthodes de calcul des valeurs propres des matrices.
Auparavant, nous traiterons des opérations élémentaires sur les matrices.
Si l’on se réfère au calcul d’un déterminant d’ordre n selon la méthode de Cramer (1704-1752),
on voit que ce procédé exige environ n! opérations ce qui devient rapidement irréalisable du point
de vue pratique. Il nous faut utiliser des méthodes beaucoup plus économiques et celles que nous
présentons utilisent grossièrement n3 voire n4 opérations. Du reste le dénombrement exact est
facile à obtenir en modifiant très légèrement les programmes proposés : il suffit d’ajouter un
compteur d’opérations.
Tout au long de ce chapitre, on note par des lettres majuscules les matrices et les vecteurs, et
par des lettres minuscules (généralement indicées) les éléments des matrices et les composantes
des vecteurs.
1. Multiplication de deux matrices
Soient deux matrices A(n, m) et B(m, Z) expressions dans lesquelles le premier terme de la
parenthèse représente le nombre de lignes et le second le nombre de colonnes. C(n, 1) le produit
des matrices A et B s’écrit :
avec
cjk = CLjibik.
i=l
Le nombre d’opérations est environ 2m x n x Z. On trouvera le sous-programme multma. h
calculant le produit de deux matrices sur le Web (*).
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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