4.
RÉSOLUTION
DES
É QUATIONS
NUMÉRIQUES
Mise en œuvre de /a méthode - On trouvera sur le Web (*) les programmes bairstow. c et
bairstow . h réalisant l’algorithme de Bairstow. Toutefois ces programmes appellent plusieurs
remarques :
1. Le programme peut être mis en défaut lorsque le polynôme présente des racines multiples et
notamment des racines doubles car le jeu des erreurs peut nous faire basculer vers des valeurs
négatives du discriminant et peut nous donner l’illusion de deux racines complexes conjuguées.
Cela mérite évidemment un examen attentif. En fait l’erreur absolue sur le discriminant est
de l’ordre de 10p16 et par conséquent la partie imaginaire sera de l’ordre de 10-‘.
2. Hormis l’ennui précédemment cité, il n’y a pas lieu de procéder à une détermination locale
préalable des racines qui peuvent du reste être complexes.
3. On pourrait mettre en œuvre une méthode qui utilise un binôme au lieu d’un trinôme, mais
seules seraient calculées les racines réelles du polynôme à coefficients réels, ce qui ôte tout
attrait à ce procédé. Cependant, dans le cas où les coefficients du polynôme sont complexes,
la réécriture de la méthode de Bairstow appliquée à la division par un binôme donne une
excellente manière d’opérer (voir les problèmes).
3.3. Racines d’un polynôme et valeurs propres d’une matrice
L’usage des mathématiques veut que la détermination des valeurs propres des matrices passe
par l’intermédiaire de l’équation caractéristique dont on recherche ensuite les racines. L’équation
caractéristique est en fait un polynôme dont les zéros sont les valeurs propres de la matrice. Ainsi,
quand nous aurons obtenu l’équation caractéristique, la méthode de Bairstow nous donnera les
valeurs propres de la matrice.
Ce n’est pas la meilleure technique pour calculer les valeurs propres d’une matrice et
l’on étudiera d’autres méthodes directes qui nous permettront de les obtenir. Cependant,
réciproquement, si l’on sait associer une matrice carrée d’ordre n à un polynôme de degré n
qui est le polynôme caractéristique de ladite matrice, on pourra utiliser les méthodes directes
de calcul des valeurs propres pour obtenir les zéros des polynômes.
Pour simplifier le problème sans pour autant nuire à la généralité, on s’intéressera aux
polynômes à coefficient principal réduit que nous écrirons donc :
H,(z) = zn + Ulrc n-1 + a22n-2 + . . . + un-12 + a, = 0.
Il suffit alors d’associer la matrice suivante (une des formes canoniques de Frobenius (18491917)) :
’ 0
1
0
0
0
0..
0
0
0
1
0
0
0..
0
A=
0
0
0
1
0
0..
0
0
0
0
0
1
0 ..
0
0
0
0
0
0
0..
1
,-an
-a,-1
-an-2
-G-3
-un-4
. -a1
La première surdiagonale de cette matrice est constituée de 1 et la dernière ligne est formée par
les opposés des coefficients du polynômes caractéristique ordonnés selon les puissances croissantes, partout ailleurs il y a des zéros. On montre que (-l)nIII,(~) est l’équation caractéristique
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
67
RÉSOLUTION
DES
É QUATIONS
NUMÉRIQUES
Mise en œuvre de /a méthode - On trouvera sur le Web (*) les programmes bairstow. c et
bairstow . h réalisant l’algorithme de Bairstow. Toutefois ces programmes appellent plusieurs
remarques :
1. Le programme peut être mis en défaut lorsque le polynôme présente des racines multiples et
notamment des racines doubles car le jeu des erreurs peut nous faire basculer vers des valeurs
négatives du discriminant et peut nous donner l’illusion de deux racines complexes conjuguées.
Cela mérite évidemment un examen attentif. En fait l’erreur absolue sur le discriminant est
de l’ordre de 10p16 et par conséquent la partie imaginaire sera de l’ordre de 10-‘.
2. Hormis l’ennui précédemment cité, il n’y a pas lieu de procéder à une détermination locale
préalable des racines qui peuvent du reste être complexes.
3. On pourrait mettre en œuvre une méthode qui utilise un binôme au lieu d’un trinôme, mais
seules seraient calculées les racines réelles du polynôme à coefficients réels, ce qui ôte tout
attrait à ce procédé. Cependant, dans le cas où les coefficients du polynôme sont complexes,
la réécriture de la méthode de Bairstow appliquée à la division par un binôme donne une
excellente manière d’opérer (voir les problèmes).
3.3. Racines d’un polynôme et valeurs propres d’une matrice
L’usage des mathématiques veut que la détermination des valeurs propres des matrices passe
par l’intermédiaire de l’équation caractéristique dont on recherche ensuite les racines. L’équation
caractéristique est en fait un polynôme dont les zéros sont les valeurs propres de la matrice. Ainsi,
quand nous aurons obtenu l’équation caractéristique, la méthode de Bairstow nous donnera les
valeurs propres de la matrice.
Ce n’est pas la meilleure technique pour calculer les valeurs propres d’une matrice et
l’on étudiera d’autres méthodes directes qui nous permettront de les obtenir. Cependant,
réciproquement, si l’on sait associer une matrice carrée d’ordre n à un polynôme de degré n
qui est le polynôme caractéristique de ladite matrice, on pourra utiliser les méthodes directes
de calcul des valeurs propres pour obtenir les zéros des polynômes.
Pour simplifier le problème sans pour autant nuire à la généralité, on s’intéressera aux
polynômes à coefficient principal réduit que nous écrirons donc :
H,(z) = zn + Ulrc n-1 + a22n-2 + . . . + un-12 + a, = 0.
Il suffit alors d’associer la matrice suivante (une des formes canoniques de Frobenius (18491917)) :
’ 0
1
0
0
0
0..
0
0
0
1
0
0
0..
0
A=
0
0
0
1
0
0..
0
0
0
0
0
1
0 ..
0
0
0
0
0
0
0..
1
,-an
-a,-1
-an-2
-G-3
-un-4
. -a1
La première surdiagonale de cette matrice est constituée de 1 et la dernière ligne est formée par
les opposés des coefficients du polynômes caractéristique ordonnés selon les puissances croissantes, partout ailleurs il y a des zéros. On montre que (-l)nIII,(~) est l’équation caractéristique
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
67