4.
RÉSOLUTION
DES
É QUATIONS
NUMÉRIQUES
où 10-P est la précision relative de la représentation en machine. Peu de valeurs suffisent. On
tabulera alors la fonction f(z) pour ces différentes valeurs et l’on notera l’intervalle dans lequel
s’effectue le changement de signe. Compte tenu de la précision de la représentation on pourra
estimer un intervalle dans lequel se trouve effectivement la racine. C’est une évaluation directe
de l’erreur qui constitue un garde-fou contre les mauvaises surprises.
On trouvera sur le Web(*) 1 e programme newtonid. c qui calcule les racines par la méthode
de Newton.
1.6. Méthode de Newton et des parties proportionnelles
En général, cette méthode est utilisée lorsque dans l’intervalle où l’on recherche la racine, peut
se trouver un point d’inflexion ou un extremum. Donc, pour éviter que la valeur de la dérivée
apparaissant dans la méthode de Newton notamment durant les premiers tours d’itération, ne
provoque des instabilités préjudiciables à la bonne conduite du calcul, on lui associe la méthode
des parties proportionnelles qui ramène les valeurs des approximations dans un domaine que
l’on espère généralement plus raisonnable. Soit zo la première approximation et [zo, f(zo)] le
point A sur la courbe y = f(z). 0 n effectue une deuxième approximation :
f (x0)
x1 = x0 - f’(xo) .
à laquelle correspond le point B sur la courbe.
La méthode des parties proportionnelles consiste à choisir comme approximation suivante le
point d’intersection de l’axe des x et de la droite joignant les points A et B. Désignons par 22
l’abscisse de ce point, nous obtenons :
x2 = ~Of(Q)
- Rf(~o)
f(Q) -.f(xo)
À nouveau on calcule le point x3 par la méthode de Newton puis le point x4 par la méthode
des parties proportionnelles et ainsi de suite (cf. Fig. 4.3, page suivante).
On trouvera sur le Web (*) le programme newtonpp. c qui calcule les racines au moyen de la
méthode de Newton et des parties proportionnelles.
Remarque : Les ennuis de stabilité liés à l’usage de la méthode de Newton naissent essentiellement du choix de la première approximation qui parfois est trop éloignée de la racine que l’on
recherche ou encore quand une abscisse de la suite formée se situe trop près d’un extremum.
Quand on tient un certain nombre de chiffres significatifs, il faut rappeler qu’en l’absence de
racines multiples, la méthode converge quadratiquement et pratiquement seules les erreurs de
troncature viennent altérer la précision du résultat.
2. Résolution d’un système non linéaire de deux équations à deux
inconnues
Nous nous proposons de résoudre un système non linéaire de deux équations à deux inconnues
que nous écrivons :
f(X> Y) = 0
dX,Y) = 0.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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RÉSOLUTION
DES
É QUATIONS
NUMÉRIQUES
où 10-P est la précision relative de la représentation en machine. Peu de valeurs suffisent. On
tabulera alors la fonction f(z) pour ces différentes valeurs et l’on notera l’intervalle dans lequel
s’effectue le changement de signe. Compte tenu de la précision de la représentation on pourra
estimer un intervalle dans lequel se trouve effectivement la racine. C’est une évaluation directe
de l’erreur qui constitue un garde-fou contre les mauvaises surprises.
On trouvera sur le Web(*) 1 e programme newtonid. c qui calcule les racines par la méthode
de Newton.
1.6. Méthode de Newton et des parties proportionnelles
En général, cette méthode est utilisée lorsque dans l’intervalle où l’on recherche la racine, peut
se trouver un point d’inflexion ou un extremum. Donc, pour éviter que la valeur de la dérivée
apparaissant dans la méthode de Newton notamment durant les premiers tours d’itération, ne
provoque des instabilités préjudiciables à la bonne conduite du calcul, on lui associe la méthode
des parties proportionnelles qui ramène les valeurs des approximations dans un domaine que
l’on espère généralement plus raisonnable. Soit zo la première approximation et [zo, f(zo)] le
point A sur la courbe y = f(z). 0 n effectue une deuxième approximation :
f (x0)
x1 = x0 - f’(xo) .
à laquelle correspond le point B sur la courbe.
La méthode des parties proportionnelles consiste à choisir comme approximation suivante le
point d’intersection de l’axe des x et de la droite joignant les points A et B. Désignons par 22
l’abscisse de ce point, nous obtenons :
x2 = ~Of(Q)
- Rf(~o)
f(Q) -.f(xo)
À nouveau on calcule le point x3 par la méthode de Newton puis le point x4 par la méthode
des parties proportionnelles et ainsi de suite (cf. Fig. 4.3, page suivante).
On trouvera sur le Web (*) le programme newtonpp. c qui calcule les racines au moyen de la
méthode de Newton et des parties proportionnelles.
Remarque : Les ennuis de stabilité liés à l’usage de la méthode de Newton naissent essentiellement du choix de la première approximation qui parfois est trop éloignée de la racine que l’on
recherche ou encore quand une abscisse de la suite formée se situe trop près d’un extremum.
Quand on tient un certain nombre de chiffres significatifs, il faut rappeler qu’en l’absence de
racines multiples, la méthode converge quadratiquement et pratiquement seules les erreurs de
troncature viennent altérer la précision du résultat.
2. Résolution d’un système non linéaire de deux équations à deux
inconnues
Nous nous proposons de résoudre un système non linéaire de deux équations à deux inconnues
que nous écrivons :
f(X> Y) = 0
dX,Y) = 0.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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