MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
Malheureusement des problèmes peuvent surgir qui sont liés à la nature de la fonction,
de sa dérivée ainsi que du point 20 à partir duquel s’effectuent les itérations. En effet dans
le domaine voisin de la racine où l’on travaille, la courbe peut présenter des changements
de concavité ou encore présenter des extremums. Si un point xk tombe au voisinage d’un
extremum, alors f’(x) est proche de zéro, et la technique de Newton nous donnera un point
zk+i qui pourra être très loin de la solution recherchée. Pour peu qu’il y ait une racine
dans le voisinage de zk+i, on aura toutes les chances de la calculer en croyant être dans un
autre voisinage. Cela laisse la porte ouverte à quelques désastres possibles... Lorsque l’on se
trouve dans un cas analogue, on doit obligatoirement le savoir avant d’entamer les calculs
puisqu’on a pris les précautions d’usage. Pour éviter qu’au départ la suite générée présente
des instabilités ou des divergences locales, on combine la méthode de Newton avec celle des
parties proportionnelles.
b - Estimation de la précision de la méthode de Newton - La plus grande sagesse veut que
l’on reporte la valeur X ~ C que l’on estime être une approximation raisonnable de la racine dans la
fonction f(x). On note : ek = f(xk). Si ek est de l’ordre de grandeur de l’incertitude introduite
par le calcul de f(xk), cela ne signifiera certainement pas que xk soit une racine, mais qu’il n’y a
pas de contradiction avec le fait qu’elle puisse en être une. En revanche, si ek est trop grand, il y
a lieu de s’inquiéter et d’examiner de nouveau le problème. C’est une attitude identique à celle
qu’on adopte lorsque l’on fait usage de la preuve par 9 ou par 11. Seul un résultat négatif donne
la certitude d’une erreur, tandis qu’un résultat positif ne donne pas la certitude d’une exactitude
mais seulement une probabilité plus ou moins élevée pour que se présente cette éventualité.
Deux cas peuvent se présenter : ou bien la suite générée est une suite encadrante, ou bien
la suite générée est une suite monotone croissante ou monotone décroissante du moins à partir
d’un certain rang.
l
La suite est encadrante - Il faut bien avouer que c’est un cas d’école qui se présente
rarement, car cela impose que la racine soit aussi un point d’inflexion. On retiendra les deux
dernières valeurs de xk et zk-1 car on sait que la racine se situe entre ces deux dernières
valeurs entachées toutefois des inévitables erreurs d’arrondi et des erreurs dues à l’approximation
des fonctions de bibliothèque. Du fait de ces erreurs, il est fort possible que l’on trouve deux
limites en machine. Bien entendu, l’estimation de l’incertitude est liée intimement à la différence
IX~ - xk-il sans oublier les erreurs entachant les calculs de f(xk-1) et f(xk). À partir de là, on
retombe dans le calcul standard des erreurs.
l La suite est monotone à partir d’un certain rang - À partir d’un certain rang r, tous les
zq générés sont donc classés par ordre croissant ou décroissant. Il faut s’assurer que lorsque deux
valeurs consécutives xk et xk+i sont égales à la précision de la machine, le reste des opérations
négligées n’apporterait plus de contribution à la précision du calcul, autrement dit il faut que :
2 jxk+l
- xki = 2
j=k+l
j=k+l
soit négligeable.
Comme il n’y a aucune raison particulière pour que la tangente soit verticale, la seule condition
de convergence est que f(zk) tende effectivement vers zéro quand k tend vers l’infini. C’est alors
que la précision de la machine utilisée intervient ainsi que la nature de la fonction f(x). Pour
obtenir une estimation raisonnable de l’erreur, il faudra chaque fois faire une étude particulière
dont il est possible de donner les grandes lignes : il est facile de donner à la valeur approchée
x* de la racine une suite d’accroissements f dz, *2 dz, f3 dz.. , +A dz avec dz = lOFPz*
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Malheureusement des problèmes peuvent surgir qui sont liés à la nature de la fonction,
de sa dérivée ainsi que du point 20 à partir duquel s’effectuent les itérations. En effet dans
le domaine voisin de la racine où l’on travaille, la courbe peut présenter des changements
de concavité ou encore présenter des extremums. Si un point xk tombe au voisinage d’un
extremum, alors f’(x) est proche de zéro, et la technique de Newton nous donnera un point
zk+i qui pourra être très loin de la solution recherchée. Pour peu qu’il y ait une racine
dans le voisinage de zk+i, on aura toutes les chances de la calculer en croyant être dans un
autre voisinage. Cela laisse la porte ouverte à quelques désastres possibles... Lorsque l’on se
trouve dans un cas analogue, on doit obligatoirement le savoir avant d’entamer les calculs
puisqu’on a pris les précautions d’usage. Pour éviter qu’au départ la suite générée présente
des instabilités ou des divergences locales, on combine la méthode de Newton avec celle des
parties proportionnelles.
b - Estimation de la précision de la méthode de Newton - La plus grande sagesse veut que
l’on reporte la valeur X ~ C que l’on estime être une approximation raisonnable de la racine dans la
fonction f(x). On note : ek = f(xk). Si ek est de l’ordre de grandeur de l’incertitude introduite
par le calcul de f(xk), cela ne signifiera certainement pas que xk soit une racine, mais qu’il n’y a
pas de contradiction avec le fait qu’elle puisse en être une. En revanche, si ek est trop grand, il y
a lieu de s’inquiéter et d’examiner de nouveau le problème. C’est une attitude identique à celle
qu’on adopte lorsque l’on fait usage de la preuve par 9 ou par 11. Seul un résultat négatif donne
la certitude d’une erreur, tandis qu’un résultat positif ne donne pas la certitude d’une exactitude
mais seulement une probabilité plus ou moins élevée pour que se présente cette éventualité.
Deux cas peuvent se présenter : ou bien la suite générée est une suite encadrante, ou bien
la suite générée est une suite monotone croissante ou monotone décroissante du moins à partir
d’un certain rang.
l
La suite est encadrante - Il faut bien avouer que c’est un cas d’école qui se présente
rarement, car cela impose que la racine soit aussi un point d’inflexion. On retiendra les deux
dernières valeurs de xk et zk-1 car on sait que la racine se situe entre ces deux dernières
valeurs entachées toutefois des inévitables erreurs d’arrondi et des erreurs dues à l’approximation
des fonctions de bibliothèque. Du fait de ces erreurs, il est fort possible que l’on trouve deux
limites en machine. Bien entendu, l’estimation de l’incertitude est liée intimement à la différence
IX~ - xk-il sans oublier les erreurs entachant les calculs de f(xk-1) et f(xk). À partir de là, on
retombe dans le calcul standard des erreurs.
l La suite est monotone à partir d’un certain rang - À partir d’un certain rang r, tous les
zq générés sont donc classés par ordre croissant ou décroissant. Il faut s’assurer que lorsque deux
valeurs consécutives xk et xk+i sont égales à la précision de la machine, le reste des opérations
négligées n’apporterait plus de contribution à la précision du calcul, autrement dit il faut que :
2 jxk+l
- xki = 2
j=k+l
j=k+l
soit négligeable.
Comme il n’y a aucune raison particulière pour que la tangente soit verticale, la seule condition
de convergence est que f(zk) tende effectivement vers zéro quand k tend vers l’infini. C’est alors
que la précision de la machine utilisée intervient ainsi que la nature de la fonction f(x). Pour
obtenir une estimation raisonnable de l’erreur, il faudra chaque fois faire une étude particulière
dont il est possible de donner les grandes lignes : il est facile de donner à la valeur approchée
x* de la racine une suite d’accroissements f dz, *2 dz, f3 dz.. , +A dz avec dz = lOFPz*
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