4.
RÉSOLUTION
DES
É QUATIONS
NUMÉRIQUES
Cette valeur nous permet d’obtenir, sous certaines réserves, une meilleure approximation que
nous écrivons :
f (x0)
Icl = I ço - f’(xo)
Rien ne nous empêche, excepté toutefois l’absence éventuelle de convergence, d’itérer successivement la procédure jusqu’à ce que l’on obtienne la racine x* avec la précision souhaitée. On
aura formé la suite :
.fcxk)
xk+1 = Içk - f,(xk) ’
Dans la mesure où l’on dispose non seulement de la fonction mais aussi de sa dérivée on peut
espérer obtenir une vitesse de convergence rapide du moins dans le cas où les racines sont simples.
Au reste, l’interprétation géométrique est très parlante. Représentons la courbe y = f(x) sur un
diagramme (cJ Fig. 4.2) ainsi que la première approximation x0. La linéarisation du problème
consiste à remplacer un arc de courbe de f(x) par un segment de droite qui est tangent à la
courbe dans le cas général. Traçons la tangente au point [x0, f(xo)]. Elle coupe l’axe des x au
point x1 donné par l’expression :
f (x0)
x1 = I Lo - f’(xo)
Figure 4.2. Méthode de Newton.
0
La répétition du processus nous permet d’obtenir sans problème les points suivants qui sont
%2,x3,...
a - Ennuis possibles avec la méthode de Newton - En l’absence de difficultés, la méthode
de Newton assure une convergence très rapide de la suite de xk. Dans le cas de racines simples, la
convergence est même quadratique ce qui confère à cette technique un intérêt particulier quand
on dispose déjà d’un chiffre significatif. Nous utiliserons cet algorithme pour réaliser une partie
de la fonction de bibliothèque calculant la racine carrée, et nous verrons ultérieurement dans
quelles conditions.
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