MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
On en conclut que :
el C (up(=(u,j(K+K2+K3+...I.
p=n+l
On reconnaît une progression géométrique de raison K et de premier terme K. Donc :
Comme en général on arrête les itérations lorsque deux valeurs consécutives sont égales à la
précision relative de la machine on peut alors écrire :
En pratique, on peut estimer K de la façon suivante :
K = dxn) - dxn-d .
X?L - X,-l
Sur le Web (*), on trouvera le programme itera, c qui calcule les racines par cette méthode
itérative.
1.5. La méthode de Newton (1643-1727)
Nous avons déjà rencontré la méthode de Newton à propos du calcul de la racine carrée d’un
nombre et il nous reste donc à généraliser cette technique à la recherche d’un zéro d’une fonction
quelconque f(x).
Supposons qu’un travail préliminaire nous ait permis de localiser une racine dans l’intervalle
(a, b). On désigne par x0 la première approximation de cette racine. Comme x0 n’est qu’une
approximation, la racine x* que l’on recherche s’exprime de la façon suivante : x* = x0 + ho.
Nous allons chercher à calculer ho ou plus exactement une approximation de ho. Nous pouvons
écrire :
f(x*) = f(xo i- ho) = 0.
Linéarisons le problème, c’est-à-dire que nous développons la fonction f(x) au premier ordre
au voisinage de x0. Nous obtenons :
f(xo -t ho) = 0 = f(xo) + hof’bo)
ce qui va permettre d’obtenir la valeur approchée de ho :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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