MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
b - Nous avons : f(x) = f(xo) + [(x - xo)/l!]f’(xo) au premier ordre donc :
AO = f(xo) et
A1 = fi;“) .
c - Utilisons la relation (que l’on ne demande pas de démontrer) :
A
~
(k + l)Ak-1
Ic+’ ~ (k- l)+ A&$'
on calcule :
puis :
A3 =
3f’f2
c;
-3yy2 + 2f’2f”/ - Cl[é$ - CIQ] .
d - Étude de la fonction y = log,(l + x). 0 n écrit : df/ dz = l/(l + xc,), puis :
d2f _
1
d”f
2
dx2
(1 + xo)2
et
-=
dz”
(1 + x0)3 ’
ct d’une façon générale :
d”f ~ (n.-l)! .
dxTL
(1 + x0)7L
Ensuite, oncalcule : Ao =log,(l+xo),Al = (l+q~),A2 = 2,A3 =3(1+x0).
Pour calculer log,(x), il suffit de faire x0 = 0. Les relations de récurrence dorment :
Po = 1, Qo = 0, PI = Ao et QI = 1. En définitive, on obtient :
et pour x = 1, on trouve log,(2) z 0,769.
X2
x3
x4
e - Le développement de log,(l +x) = x - - + - - - (au même ordre que pour la question
précédente) donne log,(2) FZ 0,583.
2
3
4
L’erreur absolue sur le résultat donné par la formule de MacLaurin est 0,2 tandis qu’elle est
de 0,08 sur le résultat donné par la fraction continue.
20. Éléments de traitement du signal
20.1. Détermination d’une constante de temps
a - On a V(t) = Aexp(-tut) avec cy = &.
Approche no 1 - On note les données (Vi, ti) pour i = 0, 1,2, . . , N. On prend le logarithme
de l’expression précédente, ce qui permet de linéariser le problème :
log,(V,) = & = loge(A) - a& = a - CI$,