ANNEXE
I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ETEXERCICES
18.4. Solubilité du nitrate de sodium dans l’eau
a - On écrit l’équation de la droite de régression : Y(z) = ti + b(z - 2) où :
avec 0: = i )JyTl(xi - 3)2 et ai = k CFEi(yi - y)” et aussi :
2
-xiyi - nxy
i=l
>
nuxfly
F étant le coefficient de corrélation. On trouve les résultats numériques suivants :
3 = 26, a = g = 90,14, az = 21,24, oy = 18,51 et f 2 x~iy~ = 2 736,5
i=l
ensuite on calcule : b = 0,871, F = 0,999. Il n’y a aucune raison de rejeter une liaison de
corrélation puisqu’il y a quasiment une dépendance linéaire. La droite de régression s’écrit
donc : Y(x) = 90,14 + 0,871(x - 26) = 67,5 + 0,871x.
Calculons à présent S2 = & ~~=,[xi - Y(x,)]’ = 0,805 d’où S = 0,805.
b - Pour x0 = 40, voici les résultats trouvés : y = 102,34 avec une incertitude :
[Ayl = *t012(7)-$
J
1 + (xoi2)2 = *0,68 avec a = 0,lO.
Autrement dit, on a 90 chances sur 100 de tomber dans l’intervalle ]Ay].
19. Les fractions continues
19.1. Calcul d’une fonction donnée sous forme d’une fraction continue
a - D’abord on calcule : pi/Qi = Ao, puis P2/Q2 = [AoAl + (x - ao)]/Al, et enfin :
p3
c3=Ao+
(x - ao)Az
= AoAlAâ + Ao(x - ai) + A~(J: - ao) .
AI& + (x - R)
AI& + (x - a)
À partir de cette dernière expression, la démonstration des relations cherchées s’effectue par
récurrence ; les relations sont donc vraies pour m = 3, montrons qu’elles sont vraies pour m + 1.
Il suffit de remplacer A,-1 par A,-1 + (x - am-l)/Am, dans les relations :
. P, = A,-1P,-1+ (x - u~-~)P,~~
Qm = Am-lQm-1 + (x - am-2)Qm-2
mais il est commode de former le rapport P,+i/Q,+1 :
~ = A,-IA, + (x - u,-I)P,-I + (x - am-a)Pm-2Am
P mtl
Q m+l
A,-IA, + (x - am-l)Qm-1 + (x - am-a)&+An
&[A,-lpm-1
+ (x - a,-2)Pm-21 + (x - a,-l)Pm-1
= &[A,-lQm-1 + (x - am-2)Qm-2]+ (x - am-l)Qm-1
AmPm + (x - a,-$‘m-1
= &Qm + (x - am-l)Qm-1 .
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I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ETEXERCICES
18.4. Solubilité du nitrate de sodium dans l’eau
a - On écrit l’équation de la droite de régression : Y(z) = ti + b(z - 2) où :
avec 0: = i )JyTl(xi - 3)2 et ai = k CFEi(yi - y)” et aussi :
2
-xiyi - nxy
i=l
>
nuxfly
F étant le coefficient de corrélation. On trouve les résultats numériques suivants :
3 = 26, a = g = 90,14, az = 21,24, oy = 18,51 et f 2 x~iy~ = 2 736,5
i=l
ensuite on calcule : b = 0,871, F = 0,999. Il n’y a aucune raison de rejeter une liaison de
corrélation puisqu’il y a quasiment une dépendance linéaire. La droite de régression s’écrit
donc : Y(x) = 90,14 + 0,871(x - 26) = 67,5 + 0,871x.
Calculons à présent S2 = & ~~=,[xi - Y(x,)]’ = 0,805 d’où S = 0,805.
b - Pour x0 = 40, voici les résultats trouvés : y = 102,34 avec une incertitude :
[Ayl = *t012(7)-$
J
1 + (xoi2)2 = *0,68 avec a = 0,lO.
Autrement dit, on a 90 chances sur 100 de tomber dans l’intervalle ]Ay].
19. Les fractions continues
19.1. Calcul d’une fonction donnée sous forme d’une fraction continue
a - D’abord on calcule : pi/Qi = Ao, puis P2/Q2 = [AoAl + (x - ao)]/Al, et enfin :
p3
c3=Ao+
(x - ao)Az
= AoAlAâ + Ao(x - ai) + A~(J: - ao) .
AI& + (x - R)
AI& + (x - a)
À partir de cette dernière expression, la démonstration des relations cherchées s’effectue par
récurrence ; les relations sont donc vraies pour m = 3, montrons qu’elles sont vraies pour m + 1.
Il suffit de remplacer A,-1 par A,-1 + (x - am-l)/Am, dans les relations :
. P, = A,-1P,-1+ (x - u~-~)P,~~
Qm = Am-lQm-1 + (x - am-2)Qm-2
mais il est commode de former le rapport P,+i/Q,+1 :
~ = A,-IA, + (x - u,-I)P,-I + (x - am-a)Pm-2Am
P mtl
Q m+l
A,-IA, + (x - am-l)Qm-1 + (x - am-a)&+An
&[A,-lpm-1
+ (x - a,-2)Pm-21 + (x - a,-l)Pm-1
= &[A,-lQm-1 + (x - am-2)Qm-2]+ (x - am-l)Qm-1
AmPm + (x - a,-$‘m-1
= &Qm + (x - am-l)Qm-1 .
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