ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ETEXERCICES
A étant un coefficient de normalisation. Donc la densité de probabilité de la variable aléatoire
(m - l)<” s’écrit :
p(z) = A~("'"/~)~~exp
pour z E (O,+co).
avec
A=
1
2"'/T(rn/2) .
d’où l’expression :
Nous avons donc :
1
p(x) = ‘p/2qm/2)
x(4+1 exp -: .
(
>
2
1
2'+T(m/2)
&42)-1 exp -5
(
>
2
L!T)
(1 - 2jy4.
La fonction caractéristique 4(t) d e 1 a variable aléatoire t2 s’exprime en fonction de CC~~C de
(m - 1)c2, c’est-à-dire :
Q(t) = @ (A) = (1 - 27;;;1=i)pm’2 pour t E (-co;+oo).
Il suffit d’appliquer le théorème de dilatation d’abscisse sur les transformées de Fourier pour
obtenir la densité de probabilité p(z) de la variable t2 :
avec u = (m - 1)) ce qui donne :
cm - w2 pn/Z)-1
R(z, m) = 2”“/2q42)
2. a - La loi de distribution de TI est immédiate :
(n ~ w2 ,(~,~,/a)-1
pTJ( z, n, = yt/2r(n/2)
exp
(pp)
b - La distribution de w = u/u qui est le rapport de deux variables positives et independantes
u et v de distribution pu(u) et pu(u) est donnée par l’expression établie en cours :
cc
P,(x~)P~(x)x
dz.
c557