ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXER.CICES
e - Ona:
cette dernière expression est bien la définition d’une variable de Student à (n - 1) degrés de
liberté (cf. le chapitre 22). Autrement dit, P[t < t,(n - i)] = o ou encore :
P[t > tcx(n - 1)] = 1 - (Y.
f - Puisque P( / t 1 > te) = 1 - cy, cela entraîne :
p
(
d4fx) ~ ml > t”
)
=1-a,
u
soit encore :
p d4(x) - ml > t.
(
) (
= P I(x) - ‘ 1111 > t”s
= 1~ a.
u
1
La condition
a la probabilité (1 - cy) de se réaliser. Attention aux valeurs absolues qui doublent l’intervalle!
g - On veut que 1 (zr) - ml appartienne à 1 avec 90 chances sur 100, donc
P(I(x) -ml < 1) = P i(x) -ml < to,os(n, - l)% = 0, 10.
3,65
Comrne ta,as(19) = 1,729, on en déduit que 1 = 1,729m
= 1,4 (il s’agit de cm)
3=approche - Si l’on admet que t obéit à une distribution gaussienne, nous avons :
P(if < to) = û: avec to = 1,645, il s’ensuit que 1’ = 1,645 x 3,65/m = 1,34 (cm).
La morale de cette histoire tient en peu de mots : l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff convient
pour toutes les lois de distribution c’est donc la plus pénalisante avec une erreur de 11,5 cm qui,
il faut bien le dire, est peu significative ; le choix a priori d’une distribution gaussienne est très
raisonnable puisque les données sont au nombre de 20, cependant, on va trouver une erreur un
peu optimiste (1,34 cm) car le nombre de degrés de liberté n’est quand même pas très éleve; le
calcul rigoureux effectué avec la distribution de Student donne le bon résultat : une erreur de
1,4 cm ce qui est peu au-dessus de l’erreur gaussienne. Sans avoir recours aux tables, on peut
d’ores et déjà affirmer que la loi de Student tendant vers la loi de Gauss quand le nornbre de
degrés de liberté tend vers l’infini donnera le résultat : t0,05(co) = 1,645. Au-delà d’un nombre
de degrés de liberte de l’ordre dc 50, la distribution gaussienne remplit bien son office.
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e - Ona:
cette dernière expression est bien la définition d’une variable de Student à (n - 1) degrés de
liberté (cf. le chapitre 22). Autrement dit, P[t < t,(n - i)] = o ou encore :
P[t > tcx(n - 1)] = 1 - (Y.
f - Puisque P( / t 1 > te) = 1 - cy, cela entraîne :
p
(
d4fx) ~ ml > t”
)
=1-a,
u
soit encore :
p d4(x) - ml > t.
(
) (
= P I(x) - ‘ 1111 > t”s
= 1~ a.
u
1
La condition
a la probabilité (1 - cy) de se réaliser. Attention aux valeurs absolues qui doublent l’intervalle!
g - On veut que 1 (zr) - ml appartienne à 1 avec 90 chances sur 100, donc
P(I(x) -ml < 1) = P i(x) -ml < to,os(n, - l)% = 0, 10.
3,65
Comrne ta,as(19) = 1,729, on en déduit que 1 = 1,729m
= 1,4 (il s’agit de cm)
3=approche - Si l’on admet que t obéit à une distribution gaussienne, nous avons :
P(if < to) = û: avec to = 1,645, il s’ensuit que 1’ = 1,645 x 3,65/m = 1,34 (cm).
La morale de cette histoire tient en peu de mots : l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff convient
pour toutes les lois de distribution c’est donc la plus pénalisante avec une erreur de 11,5 cm qui,
il faut bien le dire, est peu significative ; le choix a priori d’une distribution gaussienne est très
raisonnable puisque les données sont au nombre de 20, cependant, on va trouver une erreur un
peu optimiste (1,34 cm) car le nombre de degrés de liberté n’est quand même pas très éleve; le
calcul rigoureux effectué avec la distribution de Student donne le bon résultat : une erreur de
1,4 cm ce qui est peu au-dessus de l’erreur gaussienne. Sans avoir recours aux tables, on peut
d’ores et déjà affirmer que la loi de Student tendant vers la loi de Gauss quand le nornbre de
degrés de liberté tend vers l’infini donnera le résultat : t0,05(co) = 1,645. Au-delà d’un nombre
de degrés de liberte de l’ordre dc 50, la distribution gaussienne remplit bien son office.
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