MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
c - Nous avons Yp = Et=, 2: = nombre de fois que Xk appartient à Iq. La fonction
caractéristique associée à cette variable s’écrit :
et Comme P (24 = 1) = pk et comme P(zz = 0) = 1 - pk, on peut écrire :
(pq(tl,t2,t3,. . , b) = Cpk ew(jtk).
k=l
La fonction caractéristique d’une somme de variables aléatoires indépendantes est le produit
des fonctions caractéristiques de chacune des variables aléatoires, donc, ici, comme elles ont
toutes la même fonction de distribution, on peut écrire :
(P(t1,t2,t3,. ..,h) = -&P
[ k=l k exdh)] n
d - Il suffit de dériver la fonction caractéristique pour obtenir les moments désirés :
Pour {tq} = 0.
comme cLT1pk = 1, on trouve : mlq = np, (ce résultat aurait pu être obtenu directement).
Ensuite, par le même style de calculs, on montre que :
d’où on déduit l’écart type :
u2 = nP,(l -PS)
a est proportionnel à J”pa donc U, est une variable centrée réduite indépendante de n.
e - Écrivons la fonction caractéristique de U, :
(P(tl>tz,t3,. . . , tr) = M ex
[ P(+Jqtq)] =-[exp(3r;y~k)]
=w (-i~W%) A4 [exP(~$&tq)]
=ew (-jT;WK) [$%exP(j&)]n
= [-p (-jgbE) gpqexP (j&)]‘.
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