ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ETEXERCICES
14. La loi du x2 et la loi de Student
14.1. Le test de Pearson
a - On développe la fonction caracteristique de plusieurs variables :
P(~I, t2,t3, . . , tm) = M[exp(j (tlX1 + t2X2 + t:3&, . . , t-t,,,&,>)]
en série de MacLaurin-Taylor, au préalable on s’intéresse au dévcloppcmcnt dc :
Xk
exp(jt,X,) = f?J”$ti = lt j$tq
x4 2
k=O
.
- +,+-.
puis au produit :
fiexp(.jt,X,) = fi i
X2
l+.j~tq-$t;+i
‘VL
q=l
y=1
= 1 + j c x,t, ~ ; 5 x;t; + . j
q=l
et enfin à la fonction caractéristique :
= 1 + jM[X&l + jM[x,]t, + '.
Nous avons le dcvcloppement direct de cp(tl, t2, t:j, . . . , tm) :
pour {tP} = 0.
Par identification, on obtient :
+
- = jMLQ1
et
a29
at,
dt2 = -AJ[Xi] pour {tq} = 0.
b - Si l’on spécifie l’ordre dans lequel les cas doivent se succéder :
P(Y1=n1,Y2=122 )...) YT=n+p;1p;2 )...) py,
En revanche, si l’ordre n’a pas d’importance, il y a ré! combinaisons de n éléments ; seulement,
il doit y avoir 121 éléments dans Ii, na éléments dans I2, 12, éléments dans 1,. Il y a donc ni!
combinaisons dans 11 et n,! combinaisons dans 1,. lesquelles ont déjà été factorisées dans n! ;
donc le coefficient qu’il convient d’appliquer au cas où l’ordre est spécifii: est :
n!
nl!n2!. . n,!
dc là on tire la loi dc distribution multinomiale :
P(Yl = 7x1, Y2 = 712, . , Yr = n,.) =
n!
n1!n2! . . n,!
pT’p;2,. . ,py.
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