MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
et l’on pose z = (y ~ m)/ cr cc qui donne y = gz + m et dy = cr dz. On obtient donc :
dz
+CC
exp(j2?rtm)
I’
2
6
&
exp(j2x0zt) exp ~T dz.
(
1
p(t) = exp(j2Ttm)cp(at) = exp(j27rtnl) exp(-27r202t2),
(1.7)
théorème dé,j& établi dans le cours.
La fonction caractéristique dc la variable 7 qui est la somme de deux variables gaussiennes
indépendantes est donc le produit des fonctions caract,éristiqucs de chaque variable :
Q(t) = exp[j2 t(
r ml + m2)]p(a~t)cp(o2t)
= exp[j2&(ml + mz)] exp[-2T2t2(of + ai)]
on voit qu’il suffit de poser m = ml + m2 et CT~ = a; + a; pour retrouver l’expression du
thCorCmc (1.7). Donc la distribution de 7 est :
f(Y)
=
l
exp - [Y - ml - m212
J27r(aT + c;)
(
a(4 + a$) 1
c - La génkralisation n’est pas très difficile, on obtient, :
d - Il s’agit de la fonction fente et la fonction caractéristique s’écrit : p(t) = [sin(nt
La fonction caractéristique de la variable E/n donne : $(t) = [sin(-irt/n)]/(&/n) (attention, il
ne s’agit pas d’une dilatation d’abscisse...) et la fonction caractéristique dc la variable aléatoire
7 = i 2 xk s’kcrit :
Développons
autrement dit, Q(t) = Aexp [-t2/(202)], ce qui veut dire que la densité de probabilité est
gaussienne. Cela mérite un commentaire supplémentaire, en effet, on voit très bien que la
valeur 0 croît comme fi; mais cela est conforme au théorèrne d’addition des Q des variables
indépendantes. Plus la somme des variables est klevke, plus u croît. Il peut être alors utile
d’effectuer un changement de variable pour conserver une échelle raisonnable.
Il résulte de ces calculs que l’on connaît le comportement asymptotiquc de la fonction
[sin(x)/xln qui tend dont vers une gaussienne. Lorsque n est u11 ordre de grandeur plus grand que
1, disons 10 environ, l’écart entre les deux fonctions cn valeur absolue est de quelques millièmes.
Ce théorCme
n’apparaît pas explicitement dans les ouvrages d’analyse. Le programme card0. c
réalise les opérations proposées.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
et l’on pose z = (y ~ m)/ cr cc qui donne y = gz + m et dy = cr dz. On obtient donc :
dz
+CC
exp(j2?rtm)
I’
2
6
&
exp(j2x0zt) exp ~T dz.
(
1
p(t) = exp(j2Ttm)cp(at) = exp(j27rtnl) exp(-27r202t2),
(1.7)
théorème dé,j& établi dans le cours.
La fonction caractéristique dc la variable 7 qui est la somme de deux variables gaussiennes
indépendantes est donc le produit des fonctions caract,éristiqucs de chaque variable :
Q(t) = exp[j2 t(
r ml + m2)]p(a~t)cp(o2t)
= exp[j2&(ml + mz)] exp[-2T2t2(of + ai)]
on voit qu’il suffit de poser m = ml + m2 et CT~ = a; + a; pour retrouver l’expression du
thCorCmc (1.7). Donc la distribution de 7 est :
f(Y)
=
l
exp - [Y - ml - m212
J27r(aT + c;)
(
a(4 + a$) 1
c - La génkralisation n’est pas très difficile, on obtient, :
d - Il s’agit de la fonction fente et la fonction caractéristique s’écrit : p(t) = [sin(nt
La fonction caractéristique de la variable E/n donne : $(t) = [sin(-irt/n)]/(&/n) (attention, il
ne s’agit pas d’une dilatation d’abscisse...) et la fonction caractéristique dc la variable aléatoire
7 = i 2 xk s’kcrit :
Développons
autrement dit, Q(t) = Aexp [-t2/(202)], ce qui veut dire que la densité de probabilité est
gaussienne. Cela mérite un commentaire supplémentaire, en effet, on voit très bien que la
valeur 0 croît comme fi; mais cela est conforme au théorèrne d’addition des Q des variables
indépendantes. Plus la somme des variables est klevke, plus u croît. Il peut être alors utile
d’effectuer un changement de variable pour conserver une échelle raisonnable.
Il résulte de ces calculs que l’on connaît le comportement asymptotiquc de la fonction
[sin(x)/xln qui tend dont vers une gaussienne. Lorsque n est u11 ordre de grandeur plus grand que
1, disons 10 environ, l’écart entre les deux fonctions cn valeur absolue est de quelques millièmes.
Ce théorCme
n’apparaît pas explicitement dans les ouvrages d’analyse. Le programme card0. c
réalise les opérations proposées.
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