ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
s
+oO
où f(x) est une fonction manifestement non négative, la condition
f(z) dz = 1 impose la
-00
relation : 6a2 + b2 = 1. Ensuite on calcule les différents moments :
E(X) = 6ab - 6ab = 0
E(X2) = 6a2 + 3b2
E(X3) = 12ab
,9(X4) = 24a2 + 15b2.
La condition E(X4) = 3E(X2)2 impose une autre relation :
24a2 + 15b2 = 3 (6a2 + 3b2)2 ,
à laquelle nous combinons la condition de normalité 6a2 + b2 = 1 pour obtenir :
36a4 - 14a2 + 1 = 0,
d’où nous tirons :
a2 = 0,295
ou encore
a2 = 0,094.
On peut choisir entre les deux valeurs de a2, car b2 doit être positif, ce qui entraîne que
a2 < 1/6 = 0,166 donc a2 = 0,094.
Dans ces conditions, b2 = 0,346 et g = 0,642.
13. La fonction caractéristique
13.1. (v)’ tend vers une gaussienne quand n croît positivement
a - La fonction caractéristique d’une variable gaussienne centrée réduite s’écrit :
dx = exp (-27r2t2)
c’est, bien sûr, une gaussienne.
La variable v est la somme de deux variables gaussiennes, centréës, réduites et indépendantes,
alors sa fonction caractéristique est G(t) = p”(t) = exp(-47r2t2). G(t) est la transformée de
Fourier de 1/(2&) exp (-t2/4) et 1 ‘on retrouve bien le théorème d’addition des variantes :
c2 = 2 (cJ chapitre 21).
b - À présent il suffit de faire une transformation linéaire x = (y - m)/a dans la fonction de
distribution, on écrit :
+ C C
P( t ) = & s
exp(j2nyt) exp (-!“;;12) dy,
-cc
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