MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
12.11. L’inégalité de Kolmogorov
a - L’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff est démontrée dans le cours.
b - Partons de l’égalité :
+CC
E(X2) = J
X”~(X) dz =
J
X”~(X) dz +
J &(x) dX>
-cc
lzlla
M>a
la première intégrale du second membre est majorée par a2
J
, ,~ f(x) dx, d’où l’inégalité
z a
demandée :
expression dans laquelle a est compris entre 0 et B.
Si 1x1 > a, il reste néanmoins que 1x1 < B. En désignant par F(x) la fonction de répartition
de la variable aléatoire x, on obtient les relations suivantes :
F(x) = 1 si x>B
F(x) = 0 si x < -B,
on peut écrire la suite d’inégalités :
J
X~~(X) dz < B2
J
f(x) dz < B2
J f (xl dx
a a M>a
d’où il ressort que la dernière intégrale n’est rien d’autre que B2P(IXI > a). En remarquant
que :
J , ,I f(x) dx < 1, on en conclut que :
z a
E(X2) 5 a2 + B2P(JXI > a),
soit encore :
P(IXI>a)>
E(X2) - a2
B2
.
12.12. Loi quasi normale
a - On a E(Y) = 0 l’écart quadratique moyen E(Y2) = cr2, E(Y3) = 0 et E(Y4) = 3a4.
b - Ona:
f(x) = &(ax’+ bx - 3a)2exp (-$) :
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