ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
12.10. Durée de vie d’un système. Loi de Weibull. Fiabilité
a - Nous pouvons écrire :
F(t) = P(< < t) =
no - n(t) = 1 n(t) (j’()ù : n(t)
n”
n0 ’
~ = 1 - F(t).
n0
À présent ajoutons et retranchons no au numérateur de X(t) :
Wt)
X(t) =
-n o n(t) + no - n(t + At) = F(t) ~ F(t + At)
~ dt
An(t)
Atn(t)
n(t)
b - De ce résultat on déduit l’cquation diffcrcntielle du premier ordre a laquelle obéit la
répartition F(t) en fonction de X(t) :
dF(t)
dt + X(t)[l ~ F(t)] = 0.
c - L’intégration donne : log,[l ~ F(t)] = si X(z) dz, d’ou :
F(t) = 1 - exp
d - À present, A(t) = XOcxtCYpl, il s’ensuit que : F(t) = 1 - exp (-Aot”), d’où la loi de Weibull :
f(t) = XOCvtapl exp(-Xot’“).
e - Calcul de ü; nous avons :
00
a=
s
tAo&"-l exp( -A#) dt,
0
après une intcgration par parties on trouve :
Calcul de D moment non centré du deuxième ordre, il s’effectue selon le même procédé :
cc
D =
J’
t2XomY'
exp(-Xot”) dt,
0
on en déduit :
La densité de probabilité établie au 5 b du problème précédent est un cas particulier de la loi
de Weibull dans laquelle il suffit de faire a = 1.
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