ANNEXE
I. C ORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
par ailleurs, l’expression sous le signe somme est toujours non négative, g(z) est donc bien une
densité de probabilité.
Calcul de
00
II(< = k) = J’
exp(-X)$g(A) dX,
0
soit :
Xk+vpl exp[-(a + 1)X] dX =
r(v+k)
v
k!Iyv) . (a! +al)v+k-)
0
soit encore :
en définitive :
Wl=k)= [(nsii]kcLy+y-l [cri--i,]”
expression dans laquelle on pose : p = l/(a + 1) et 4 = o/(o + l), ainsi on aboutit a :
qui est bien l’expression de la loi binomiale négative.
3. a - Supposons que l’on ait tiré d’abord toutes les boules noires ensuite toutes les boules
rouges, la probabilité de ce tirage s’écrirait dans ce cas particulier :
b
n
--.
b-te
b + (nl - 1)”
r
r + (n2 - 1)c
n1n2 ~ b+r b+r+c”’
. .
b + T + (nl - 1)” b + T + nlc
b + T + (ni + ns - 1)~ ’
Maintenant, en examinant cette expression, on s’aperçoit que l’on peut réaliser n’importe
quelle combinaison d’un des produits du numérateur et d’un des produits du numérateur sans
que la probabilité soit changée; et, si l’on considère un autre ordre pour les nr boules noires et
n2 boules rouges, le calcul reste le même, mais les termes sont arrangés dans un autre ordre.
Donc pourvu que nr et n2 ne soit pas changés, toutes les séquences où figurent nl boules noires
et n2 boules rouges ont la même probabilité quel que soit l’ordre de tirage des boules.
b - Par suite, la probabilité de tirer n1 boules noires parmi n = nr + n2 boules est donc :
1
l
b
P(nl,n) = C~lII,,,, = -II,,,, = 25 . ~ .
b+c
nl!n2!
nl!nz!
b+r b+r+c”
b + (ni - 1)c
r
‘b+r+(
.
r + (n2 - 1)c
. .
nl - 1)~ b+r+nlc
b + T + (nl + n2 - 1)” .
On divise chaque élément binôme du numérateur et chaque élément binôme du dénominateur
de II nIn2 par le nombre c, et l’on obtient :
c
“1
cn2
P(nl,n)
=
nl+b/c-1
n2+r/c-1
C”l -O/c
cn2 -1./c
‘:+b,c+r,c-l
=
‘:b,c-r,c
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