MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
d - Par analogie avec la transformation réalisée sur la loi binomiale, on remplace g par qt pour
obtenir la loi de génération des moments, soit : f(t) = p”( 1 - qt) pT, que l’on développe encore :
i-(t) = PT 2 G+,-lwk
k=O
expression à partir de laquelle on va calculer les deux premiers moments non centrés :
oc1
ml= f'(l)=pl'TqC-l =J)"E c,$+,r-lkqk,
k=O
d’où : ml = rz .
P
On poursuit les calculs :
f”(l) = prr(r - l)q2pPrP2 = p’ 2 Ck+,r-,k(k - 1)q’ = m2 ~ ml,
k=O
ce qui donne :
de là on tire l’écart type :
9
u2=m2-ml=,
P
Pour mémoire, on rappelle que, pour la loi binomiale, on obtient le résultat :
g2 = npq.
e - On écrit : v(t) = M[exp(jkt)], M( ) représentant l’opérateur rnoyennc, ce qui donne :
y(t) = p7’ 2 Ct+,,-,qk exp(jkt) = pl’ 2 C” k+T-l[qexp(.jt)]k = p’[l - qexp(jt)]pr.
k=O
k=O
2. a - On rappelle quelques résultats concernant la loi de Poisson :
P(< = k) = exp(k’x)Xk
avec (6) = X et u2 = A.
b - Il convient de vérifier que sow g(z) dz = 1, pour cela calculons :
CO
03
1=
J'
CE"
-xvel exp(-ax) dz = z
r(u)
r(u) J’
xv-’ exp( -ox) dz,
0
0
effectuons le changement de variable y = ox, on obtient :
536