ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
e - Ona
exp(-2nltl)
Z5
1
n-(1 + x2)
expression donnée dans le cours à propos des transformées de Fourier. De là on écrit : Q(t) =
exp(-2rltj).
f - Les variables aléatoires <. sont indépendantes et obéissent à la même fonction de distribution
e.
.
q(z) ; la variable aléatoire 3 obéit à une fonction de distribution q(z/n), ainsi, la variable
aléatoire z a sa fonction cadactéristique X4?(t) égale au produit des fonctions caractéristiques
?lJ-(t) de toutes les variables indépendantes &/n. Nous avons donc :
$j(t) = Q@/n) = exp (-2rlt/nl),
ainsi : Q?(t) = fiexp (-2Tlt/nl) = exp(-2nltl).
i=l
La fonction de distribution de z est donc
4(x) = l
7r(l +x2)
g - Calcul de la moyenne de & :
+CC
M=l
~
7r s (1 Jrî2) dx.
-03
C’est une fonction impaire, donc on pourrait dire que M = 0 ; cependant, M = [log,( 1 +X”)]~E,
la moyenne n’a pas de limite et n’existe donc pas au sens ordinaire. On dit que M = 0 en valeur
principale au sens de Cauchy.
12.7. Loi binomiale négative. Loi de Poisson dont le paramètre suit une loi du x2.
Urne de P6lya
1. a - La probabilité d’avoir tiré exactement k échecs qui précèdent le tirage du re succès est
f(kr,p).
b - Nous avons A = B . C, et comme les événements B et C sont indépendants, nous pouvons
écrire : P(A) = P(B)P(C) avec :
P(B) = C&pT-‘pk = C;+k-lpT-lpk = C;-,pr-‘pk,
et P(C) = p,
prpk.
c - Transformons l’égalité prpPr = p’(l - q)-’ = 1, on trouve : pr BAT, Ck+T-lqk = 1.
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