MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
12. Lois
12.1. L’exercice est sans difficulté
12.2. L’exercice est traité dans le cours p. 320
12.3. L’exercice est traité p. 328 et p. 331
12.4. L’exercice est traité p. 336
12.5. L’exercice n’offre pas de difficulté
12.6. Loi de Poisson. Distribution de Cauchy
+03
+C=
a - On doit avoir
&l
-oo ~4x1 dz = k .I
exp(-alzl) dz = 1;
-03
soit encore : 2lc s
exp-~1x1 dz = 1. D’où lc = a/2.
0
s
+CC
b - p(t) =
exp(j27rxt)p(z) dx expression dans laquelle t appartient à (-00, +03). Soit
-03
ici :
03
$9(t) = ; J exp(j27rzt) exp(-alxl) dz = g /[exp(j27h) + exp(-j2nxt)] exp(-az) dz
-03
0
a2
1
a2 + 47r2t2 = 1 ; 47r2t2
a2
c - Calcul de la moyenne :
+‘=C
m=a
2 s
xexp(-alxl) dlç = 0
- DC>
car la fonction sous le signe somme est impaire. Calcul de la variante :
+03
DC,
Dz;
s
x2 exp(-alzl) dz = a
s
x2 exp( -ax) dx
-03
0
On intègre deux fois par parties cette dernière expression, et l’on trouve : D = 2/u2.
d - La distribution de Student à m degrés de liberté s’écrit :
U(m + 1)/21
x2 -(m+1)‘2 pour z E (@). +m)
‘m(x) = J%iir(m/2) ’ + ii
[ 1
> ,
où I’(Z) est la fonction factorielle. Dans le cas où m = 1, on obtient :
(cette fonction s’appelle fonction de Lorentz).
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