ANNEXE
I. CORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
e - On part de l’intégrale :
F(z)
J
t+(l - t)“-j &,
0
que l’on va calculer par une succession d’intégrations par parties. Pour cela posons :
du = t.-l dt
d’où :
u = 4, puis v = (1 - t)“-”
d’où dv = -(n - j)(l ~ t)npJpl dt,
on obtient alors :
C!$‘(x) = CJJF(x)]j[l - F(x)]“-,7 +
on poursuit l’intkgration par parties et l’on vérifie que l’on retrouve bien l’expression de En dérivant cette dernière fonction, on obtient la fonction de distribution recherchée :
f(x)[F(x)]ql - F(x)]‘“--!
À partir de cette relation, il est facile de calculer la moyenne des {CC} qui tombent dans « l’urne
j », soit :
+oO
(x!“‘)
=
’
3
(J - l)Y& - j)! J
f(x)[F(x)]j-‘[l - F(x)]“-jx dz.
f - Application - F(z) est la loi uniforme, soit :
F(x) = x pour 2 appartenant à
f(z) = 1 pour z appartenant à
On utilise les dernières relations établies :
1
(0,l) et vaut zéro ailleurs.
(0,l) et vaut zéro ailleurs.
(x(7”‘)
=
1
3
(.y - 1)2;n-j)! J xj-l[l - x]"-.fx dz.
0
(x’“‘) 1 = 1
6’
(x’“‘) 2 = 2
6’
(@) E 3
6’
(x4”‘) = 4
6’
On remarque que les valeurs sont « symétriques » par rapport à la valeur centrale.
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